§.1.3. Среднее значение случайных величин. Флуктуации.

 

Определим среднее значение случайных величин или математическое ожидание. Пусть некоторая физическая величина L имеет дискретный ряд значений: L₁, L₂, L₃, … с соответствующими вероятностями: P₁, P₂, P₃,... их появления. Часто удобно знать не все наборы значений и их вероятности, а среднее значение - . Среднее значение определяется, как:

 .              (1. 7)

Среднее значение любой функции от L равно:

                                                   (1. 8)

Для непрерывных величин имеем (например, координаты x):

                                                 (1. 9)

где интегрирование проводится по всем возможным значениям x.

Свойства средних значений.

1) Пусть имеем две различные функции от случайной величины  f(L) и   j(L).  Тогда среднее значение от суммы равно

 

  (1. 10)

2) Если С постоянная, то

 

                                    (1. 11)

3) Пусть  f(L) функция L,  а j (M)  функция другой случайной величины     M, тогда

                                   (1. 12)

Если переменные L и M описывают две статистически независимые системы, то вероятности перемножаются  и

                  (1. 13)

Флуктуация - отклонение от среднего значения. Флуктуация характеризует, как часто состояние системы отклоняется от своего среднего значения.

                                                         (1. 14)

Поскольку отклонения от среднего значения могут быть различными, то удобнее характеризовать их тоже средней величиной. Но для этого определение (1. 14) не годится, поскольку среднее значение от него равно нулю:

. Поэтому берут не само отклонение DL, а квадрат флуктуации и рассматривают среднюю квадратичную флуктуацию величины L

                                                   (1. 15)

Очевидно, что

  (1. 16)

Часто флуктуации характеризуют так называемой дисперсией, определяемой как квадратный корень из средней квадратичной флуктуации

                                                               (1. 17)

Относительная квадратичная флуктуация определяется выражением

                                                               (1. 18)

 

§1. 4. Биномиальное р аспределение молекул в объеме.

Пусть N молекул находятся в объеме V. Выделим объем V₁ в объеме V. Будем интересоваться макросостоянием, когда в объеме V₁ находится n частиц, а в оставшемся объеме (V - V₁) находится (N - n) молекул. Вероятность того, что одна молекула находится в V₁, равна V₁/V. Вероятность, что две частицы находятся в объеме V₁, равна . Вероятность того, что n частиц в V₁: - . Остальные (N - n) молекул должны быть в оставшемся объеме (V - V₁), т. е. нужно учесть вероятность того, что они попали в этот объем, которая равна

Итак, полная вероятность такого “микросостояния”

                                              (1. 19)

Введем понятие статистического веса ( W ), т. е. числа способов, которым реализуется данное макросостояние из различных микросостояний. Так как макросостояние газа не зависит от перестановок частиц, то

                                                            (1. 20)

Итак, полная вероятность данного макросостояния равна

                                 (1. 21)

Введем обозначения

, .                                            (1. 22)

Полученное распределение вероятностей

                                           (1. 23)

называется биномиальным распределением. Название произошло от сходства с алгебраическим биномом Ньютона:

Свойства биномиального распределения:

1) По определению, p + q = 1,

2) Ясно, что вероятность состояния с очень малыми n или (N - n) при фиксированных V₁ и V очень мала, так как при этом или  , или .

В общем случае  нас интересуют достаточно большие N и n, когда  переход от вероятности  к вероятности  осуществляется непрерывным образом. Иначе говоря, мы полагаем, что dn = 1  мала по сравнению с N. Возьмем теперь разность вероятностей двух соседних состояний и приравняем ее нулю, чтобы найти максимум вероятности:

(1. 24)

Из равенства нулю выражения в скобках имеем: , .

Так как  N > > 1 и   n > > 1, получаем                                              

.                                                        (1. 25)

Поскольку  - концентрация молекул в объеме, то наиболее вероятное состояние осуществляется тогда, когда число молекул в объеме V₁ равно

 n = n₀V₁, т. е. когда осуществляется равномерное распределение молекул по всему объему. Такое состояние называется стационарным или равновесным.

Определение: равновесным состоянием системы является ее наиболее вероятное состояние.

Схематически картина распределения вероятности при достаточно больших значениях числах частиц N и n выглядит как показано на рисунке (дискретные точки соединены сплошной линией) в виде острого максимума в окрестности n_вер c очень маленькой шириной Dn. Условие нормировки может быть записано

                                                

Если за газом наблюдать достаточно большое время, то окажется, что более вероятные распределения молекул возникают чаще, чем менее вероятные. Поэтому с течением времени газ именно и переходит в наиболее вероятные состояния, причем, достигнув наиболее вероятного состояния, газ в нем практически и остается. Существенно, что равновесное состояние газа не зависит от предыстории (или начального состояния), т. е. от “пути”, которым газ шел к равновесию. Независимость от предыстории и постоянство во времени свойств газа в равновесии имеют своим следствием то, что равновесный газ можно описать небольшим числом макроскопических величин, характеризующих газ в целом (для идеального газа - P, V, T).

 

Итак, вероятность того, что число частиц в объеме V₁ отклонится даже незначительно от n_max, ничтожна и быстро убывает с величиной отклонения. Но, тем не менее, число молекул в V₁ не всегда строго равно n_max, а колеблется (флуктуирует) около этой величины.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: