Потенциальная энергия взаимодействия
Рассмотрим систему из двух взаимодействующих частиц. Ограничимся весьма распространенным случаем, когда силы, с которыми частицы действуют друг на друга, направлены вдоль прямой соединяющей частицы, а их величина зависит только от расстояния между частицами. Если считать, что первая частица находится в начале координат (т.е. если поместить начало координат в точку, где находится первая частица), то вторую можно считать находящейся в центральном поле, созданном первой, поскольку она находится в условиях, соответствующих определению центрального поля. Силы этого поля являются консервативными, поэтому можно утверждать, что вторая частица обладает потенциальной энергией в поле созданном первой. Частицы абсолютно равноправны. Поэтому, считая вторую находящейся в начале координат, можем утверждать, что в центральном потенциальном поле, созданном второй частицей, первая обладает потенциальной энергией . В силу полной симметрии задачи относительно частиц, можно утверждать, что (3.39) Для определенности условимся считать, что в начале координат находится первая частица. Положение второй можно характеризовать радиус-вектором , проведенным к ней из начала координат. Тогда для силы, действующей на вторую частицу можно записать выражение: (3.40) где – функция расстояния до второй частицы, которая принимает: – положительные значения в случае притяжения частиц, – отрицательные значения в случае отталкивания частиц. (Вектор направлен в сторону отталкивания частиц. Поэтому при притяжении частиц знак «минус» «поворачивает» вектор к первой частице. А при отталкивании отрицательная дает при умножении на «минус» положительные значения.)
Чтобы найти выражение для потенциальной энергии второй частицы в поле, созданном первой, найдем работу , совершаемую силами поля при перемещении второй частицы на . По определению потенциальной энергии, равна убыли , поскольку работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии: . (3.41) П определению механической работы . (3.42) Но скалярное произведение можно рассматривать как проекцию приращения на направление орта , которая равна приращению расстояния между частицами . (3.43) Следовательно . (3.44) Интегрируя соотношение (3.44), можно найти выражение для потенциальной энергии второй частицы по известной функции . Эта функция может иметь различный вид в конкретных задачах, однако наибольший практический интерес представляет случай, когда она имеет вид: (3.45) (Вспомните закон всемирного тяготения или закон Кулона – вида (3.45) охватывает и один и другой.) В этом конкретном случае (т.е. при выполнении соотношения (3.45)) . (3.46) Интегрируя (3.46), найдем: . (3.47) Как и следовало ожидать, потенциальная энергия оказалась определенной с точностью до произвольной константы интегрирования. Рассуждая аналогичным образом, но поместив начало координат в точку, где находится вторая частица, для потенциальной энергии первой частицы в поле, созданном второй, можем получить соотношение, симметричное (3.46): . (3.48) Это вполне естественный вывод: ведь, по сути дела, речь идет об одной и той же энергии – энергии взаимодействия частиц . Поскольку частицы абсолютно равноправны, то выражение для энергии взаимодействия принято записывать в симметричном виде: . (3.49) Можно доказать, что потенциальная энергия взаимодействия системы из частиц, между которыми действуют только консервативные силы, равна полусумме энергий попарных взаимодействий: . (3.49) Эта энергия зависит только от взаимного расположения частиц – – другими словами от конфигурации системы. Если конфигурация не изменяется, то остается постоянной, т.е. внутренние силы работы не совершают.
Отметим, что, рассматривая сплошное (не абсолютно твердое, а упруго деформируемое) тело, как систему взаимодействующих частиц, можно рассматривать потенциальную энергию упругой деформации как энергию взаимодействия образующих тело частиц.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|