Кинетическая энергия при плоском движении
Рассмотрим, как вычислить кинетическую энергию тела, если оно одновременно участвует в поступательном и вращательном движении – например, качение колеса по плоскости.
Как мы знаем, при плоском движении тела скорость некоторой точки тела определяется формулой
(4.26)
где
- скорость поступательного движения точки «0», принятой за начало отсчета для
,
- радиус-вектор частицы с массой
по отношению к точке «0». Тогда кинетическая энергия i -той частицы
(4.27)
Учтем, что модуль
,
- расстояние i -той точки до оси вращения и, соответственно
. Воспользовавшись циклической перестановкой сомножителей в смешенном произведении, получим
.
Тогда из (4.27) получим:
(4.28)
А для кинетической энергии всего тела
(4.29)
Теперь учтем, что
,
, а
.
Тогда
(4.30)
Если в качестве «0» взять центр масс, то
, и
(4.31)
Таким образом, если рассматривать вращение тела относительно оси, проходящей через центр масс, то его кинетическая энергия распадается на два слагаемых. Одно из них описывает кинетическую энергию, обусловленную поступательным движением, другое – вращательным.
ГИРОСКОПЫ.
Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с БОЛЬШОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ вокруг оси симметрии.
В этом случае момент импульса гироскопа
. Если мы будем поворачивать ось гироскопа с некоторой
в пространстве, то
, вообще говоря, не совпадает с осью гироскопа. Однако обычно
и можно считать, что
направлен по оси гироскопа.
При попытках повернуть ось гироскопа возникает гироскопический эффект: под действием сил, стремящихся повернуть ось гироскопа вокруг оси
декартовой системы координат, гироскоп поворачивается вокруг оси
.
Такое поведение объясняется законами динамики вращательного движения. Действительно момент пары сил,
,
направленных вдоль
, направлен параллельно
. Под действием этого момента сил момент импульса гироскопа
за время
получает приращение
направленное вдоль
. Следовательно, ось гироскопа приблизится к направлению –
.
Если момент
будет продолжать действовать, то ось гироскопа будет поворачиваться, приближаясь к направлению момента сил
до тех пор, пока эти направления не совпадут. Дальней шее действие этого момента сил будет приводить только к увеличению момента импульса по модулю.
Гироскопический эффект лежит в основе действия гирокомпаса, который представляет собой гироскоп, точки опоры которого закреплены так, что гироскоп может поворачиваться вокруг вертикальной оси. На раскрученный гироскоп через точки опоры действует момент сил, вовлекающий его в суточное вращение Земли. При длительном воздействии этого момента, ось гироскопа устанавливается параллельно оси вращения Земли, т.е. в меридиональной плоскости, и позволяет определить направление на географический (!) полюс.
Если гироскоп находится в поле силы тяжести и его ось составляет с вертикалью угол
, то к гироскопу оказывается приложенным момент сил
. Он создается силой тяжести
, которая приложена к центру масс гироскопа и реакцией опоры
, действующей в точке опоры
. Раскрученный гироскоп не падает, как «юла»! Поэтому эти силы равны и противоположны по направлению. Момент сил
направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы и момент импульса
гироскопа в некоторый исходный момент времени. Если расстояние от точки опоры до центра масс гироскопа равно
, то модуль этого момента сил
(4.32)
Под действием момента сил
момент импульса
гироскопа получит приращение
, а ось гироскопа за
повернется на угол
. Следовательно, ось гироскопа будет совершать вращательное движение вокруг вертикали с угловой скоростью:
(4.33)
Такое движение называется прецессией. Соотношение (4.33) дает угловую скорость прецессии. Очевидно, что чем больше момент импульса гироскопа
, т.е. чем с большей угловой скоростью он вращается вокруг своей оси, тем меньше будет угловая скорость прецессии. (Вспомните процесс остановки «юлы».)
Воспользуйтесь поиском по сайту: