Колебания систем с большим числом степеней свободы
Рассмотрим малые колебания системы, имеющей В теории колебаний доказывается, что такая система обладает
При этом энергия системы описывается выражением:
Первое слагаемое в (37.09) является аналогом потенциальной энергии гармонического осциллятора, но связывает отклонения из положения равновесия различных осцилляторов. Похожим образом второе слагаемое является аналогом кинетической энергии, но включает в себя произведения скоростей различных осцилляторов. Можно показать, что при правильном выборе обобщенных координат системы (который всегда существует!) изменение каждой из них будет представлять собой простое (не суперпозицию!) гармоническое колебание, совершаемое на одной из собственных частот
Выбранные таким специальным образом обобщенные координаты называют нормальными, а совершаемыые колебания - нормальными колдебаниями. Важнейшей особенностью нормальных колебаний является то, что энергия, системы оказывается равна сумме энергий каждого из нормальных колебаний:
где
Одна из собственных частот определяется только длиной маятников, а вторая, кроме того, еще и жесткостью и местом закрепления пружины. Легко видеть, что если в качестве обобщенных координат выбрать полусумму и полуразность
то получим новые обобщенные координаты
Рассмотрим систему из трех одинаковых шариков, соединенных одинаковыми пружинками. Такая система представляет собой фактически, очень примитивную, но все же модель одномерного кристалла. Если шарики могут двигаться только в плоскости рисунка, то такая система будет обладать тремя степенями свободы. Нормальные колебания такой системы показаны на рисунке 37.7. Очевидно, что такие же колебания можно представить происходящими в плоскости, перпендикулярной рисунку. Кроме того, можно представить колебания, соответствующие распространению в системе продольной волны - если шарики могут совершать колебания только вдоль линии соединяющей их. В этом случае тоже возможны три моды колебаний, при которых смещение из положения равновесия соответствует трем модам для распространения поперечной волны. Всего в трехмерном случае получаем
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|