Основные результаты решения уравнения Шредингера для электронов в кристалле в приближении почти свободных электронов

Уравнение Шредингера в приближении почти свободных электронов реша­ется методами теории возмущений, и в качестве нулевого приближе­ния используются волновые функции свободных электронов, а перио­дическая потенциальная энергия U () рассматривается как возмуще­ние. В первом приближении теории возмущений спектр энергии элек­тронов смещается вниз на величину средней потенциальной энергии < U >, и это соответствует тому факту, что кристалл представляет для для электронов потенциальную яму.

Во втором приближении для большинства состояний поправка к энергии практически равна нулю. Главное воздействие слабый перио­дический потенциал оказывает лишь на те уровни свободного элек­трона, волновые векторы которых близки к векторам, допускающим брэгговское отражение.

Распространение волн в средах с периодически изменяю­щимися свойствами со­провождается появлением качественных особенностей, наиболее заметных в тех слу­чаях, когда длина волны становится срав­нимой с характерным пространствен­ным пе­риодом изменения свойств системы. Не смотря на физические различия, волновые про­цессы в различной природы в периодиче­ских системах описываются похо­жими уравне­ниями, и сходными оказываются особенности распро­странения волн.

Типичными средами с периодически изменяющимися свойствами являются кристаллы. При распространении в кристалле электро­магнитных волн имеет место брэгговское отражение, наблюдаемое, например, для электромагнитных волн при выполнении закона Вульфа – Брэгга.

Рисунок 4.

Напомним. Представим себе кристаллическую решетку. Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равностоящие друг от друга плоскости, которые будем называть атомными слоями. Две системы атомных слоев (сплошные и пунктирные линии показаны на рисунке 4) Суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отра зившееся от усеянной атомами поверхности по обычным законам отражения. Плоские вторичные волны, отразившееся от разных атомных слоев, являются когерентными и будут интерферировать. При этом, как в случае решетки, вторичные волны будут практически погашать друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода для волн, отразившихся от соседних атомных слоев, является кратной длине волны используемого излучения λ.

Как следует из рисунка 4, разность хода таких двух волн равна , где d – расстояние между рассматриваемыми атомными слоями, угол - угол скольжения. Направление, в котором получаются дифракционные максимумы, определяется условием

Это соотношение называется формулой Вульфа-Брэгга.

Условие брэгговского от­ражения для одномерного кристалла: . При его выполнении бегущая волна эффективно отра­жается от периодических неоднородностей среды, и ее энергия пе­редается волне, бегущей в противопо­ложном на­правле­нии. Встречная волна в свою очередь пере­отража­ется, возвращая часть энергии прямой волне. Волны оказы­ваются сильно связанными друг с другом. В этом случае на дисперсионной кривой (дисперсионной кривой называется зависимость, связывающая частоту воны и ее волновой вектор ) появляется область за­прещенных час­тот - рисунок 39.2. Волны с частотами из этой об­ласти в кристалле не рас­пространяются, испытывая сильное затухание.

Брэгговское отражение имеет место и для электронных волн в кристалле. В рамках теории Зоммерфельда, т.е. в прибли­жении сво­бодных электронов, волновые функции электронов имеют вид пло­ских волн. При распространении таких волн в кри­сталле они испыты­вают сильное отражение при выполнении ус­ловия Брэгга, и это, в ко­нечном итоге, приводит к появлению в дисперсионном законе элек­тронов энергетиче­ской щели.

Рассмотрим сначала простейшую модель кри­сталла в виде ли­нейной цепочки атомов на расстоянии а друг от друга. Для полностью свободных электронов в области низких значений энергий зависи­мость энергии от волнового вектора имеет вид и показана на рисунке 39.3.

Слабо связанные электроны ис­пытывают брэгговское отра­жение при выполнении условия Вульфа-Брэгга . В одномерном случае можно представить в виде:

В общем случае отражения наступают при выполнении условия:

k = ± n p /а, (39.3)

Первые отражения (и соответст­венно энергетическая щель) имеют ме­сто при k = ± p /а. Эти отражения полу­чаются, когда элек­тронная волна от данного атома линейной цепочки ин­терфе­рирует с волной от его ближайших соседей. Разность фаз между этими вол­нами равна как раз ± 2p, и можно ска­зать, что волна, бегущая в одном направлении, испытав брэгговское отражение, распространяется затем в противоположном направле­нии. Каж­дое последующее отражение вновь обращает направление рас­пространения волны. Единственной не зависимой от времени карти­ной, отвечающей такой ситуации, яв­ляется картина образо­вания стоячих волн.

При выполнении k = ± p /а волновые функции электрона уже не являются бегу­щими волнами вида ехр (ip x/a) и ехр (- ip x /a). Из этих бегущих волн можно сформиро­вать две различные стоячие волны - четную и нечетную, которые (без учета условия нормировки) имеют вид:

= ехр (ipx/a) + ехр (-ipx/a) = 2cos(p x/a); = ехр (ipx/a) - ехр (-ipx/a) = 2sin(px/a).

(39.4)

Представленные две стоячие волны отвечают группировке элек­тронов в различных по отношению к ионам областях про­странства и, следовательно, соответствующие элек­троны имеют различные значе­ния потенциальной энергии. Это обстоятель­ство и явля­ется при­чиной существования энергетической щели.

Функция описы­вает ско­пление от­рицатель­ного заряда вблизи поло­жительных ионов.

Функция описывает такое распределение электронов, при котором они располагаются пре­имущественно в областях, соответст­вующих сере­динам расстояний между ионами, т.е. вне ионных осто­вов.

Средние значе­ния потенциальной энергии для электронов, локализованных в разных местах по отношению к периодическому потенциалу отличаются на некоторую величину Е_v, а значит, существует энергетическая щель такой ши­рины между энергиями электронов в состояниях с оди­наковыми волно­выми векторами k = ± p /а. На гра­фике дисперсион­ного закона для элек­тронных волн существование энергетической щели отражается в виде, показанном на рисунке 39.4. Волно­вая функция соответствует точ­кам А, а - точкам В.

Зависимость энергии от волнового вектора при учете поля решетки имеет вид: рисунок 39.5.

Каждая разрешенная зона состоит из большого количества близкорасположенных уровней, число которых равняется количеству атомов в образце кристалла.

Области k – пространства внутри, которых энергия электронов изменяется квазинепрерывно, называются зонами Бриллюэна. На границах зон Бриллюэна энергия терпит разрыв. Для трехмерных кристаллов границами зон в k - пространстве являются замкнутые многогранные поверхности, заключенные одна в другой.

В силу периодической зависимо­сти энергии от волнового век­тора, можно ограничиться рассмотрением только первой зоны Брил­люэна. В этом случае зависимость Е(k) оказывается многозначной функцией волнового вектора, но в пределах каждой зоны функция однозначна. Такое представле­ние энергетических зон называют схе­мой приведенных зон. Схема приведен­ных зон показана на рисунке 39.6.

Отличительной особенностью од­номерного случая, для которого струк­тура энергетических зон показана на рисунках 39.5 и 39.6, является то, что зоны разрешенных значений энергии всегда разде­лены запрещенными зо­нами. В двумерном и трехмерном слу­чаях это не всегда имеет место.

Изоэнергетическая поверхность в k - пространстве для энергии E_F называется поверхностью Ферми. Для свободных электронов оная является сферой, а в действительности для электронов кристалла зависит от конкретных свойств кристалла и часто имеет весьма причудливый вид. Форма поверхности определяет характер движения электронов с энергией, близкой к E_F, а именно эти электроны участвуют в переносе заряда, т.е. создании электрического тока

Ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла и имеет величину около нескольких эВ. Соответственно расстояние между разрешенными уровнями ≈ 10^-23 эВ.

Существование энергетических зон позволяет с единой точки зрения объяснить существование металлов диэлектриков и полупроводников.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: