Основные результаты решения уравнения Шредингера для электронов в кристалле в приближении почти свободных электронов
Уравнение Шредингера в приближении почти свободных электронов решается методами теории возмущений, и в качестве нулевого приближения используются волновые функции свободных электронов, а периодическая потенциальная энергия U ( Во втором приближении для большинства состояний поправка к энергии практически равна нулю. Главное воздействие слабый периодический потенциал оказывает лишь на те уровни свободного электрона, волновые векторы которых близки к векторам, допускающим брэгговское отражение. Распространение волн в средах с периодически изменяющимися свойствами сопровождается появлением качественных особенностей, наиболее заметных в тех случаях, когда длина волны становится сравнимой с характерным пространственным периодом изменения свойств системы. Не смотря на физические различия, волновые процессы в различной природы в периодических системах описываются похожими уравнениями, и сходными оказываются особенности распространения волн. Типичными средами с периодически изменяющимися свойствами являются кристаллы. При распространении в кристалле электромагнитных волн имеет место брэгговское отражение, наблюдаемое, например, для электромагнитных волн при выполнении закона Вульфа – Брэгга.
![]()
Как следует из рисунка 4, разность хода таких двух волн равна Это соотношение называется формулой Вульфа-Брэгга.
Брэгговское отражение имеет место и для электронных волн в кристалле. В рамках теории Зоммерфельда, т.е. в приближении свободных электронов, волновые функции электронов имеют вид плоских волн. При распространении таких волн в кристалле они испытывают сильное отражение при выполнении условия Брэгга, и это, в конечном итоге, приводит к появлению в дисперсионном законе электронов энергетической щели.
Рассмотрим сначала простейшую модель кристалла в виде линейной цепочки атомов на расстоянии а друг от друга. Для полностью свободных электронов в области низких значений энергий зависимость энергии от волнового вектора имеет вид
В общем случае отражения наступают при выполнении условия: k = ± n p /а,
При выполнении k = ± p /а волновые функции электрона уже не являются бегущими волнами вида ехр (ip x/a) и ехр (- ip x /a). Из этих бегущих волн можно сформировать две различные стоячие волны - четную и нечетную, которые (без учета условия нормировки) имеют вид:
(39.4)
Функция Функция
Средние значения потенциальной энергии для электронов, локализованных в разных местах по отношению к периодическому потенциалу отличаются на некоторую величину Еv, а значит, существует энергетическая щель такой ширины между энергиями электронов в состояниях с одинаковыми волновыми векторами k = ± p /а. На графике дисперсионного закона для электронных волн существование энергетической щели отражается в виде, показанном на рисунке 39.4. Волновая функция
Каждая разрешенная зона состоит из большого количества близкорасположенных уровней, число которых равняется количеству атомов в образце кристалла. Области k – пространства внутри, которых энергия электронов изменяется квазинепрерывно, называются зонами Бриллюэна. На границах зон Бриллюэна энергия терпит разрыв. Для трехмерных кристаллов границами зон в k - пространстве являются замкнутые многогранные поверхности, заключенные одна в другой.
Отличительной особенностью одномерного случая, для которого структура энергетических зон показана на рисунках 39.5 и 39.6, является то, что зоны разрешенных значений энергии всегда разделены запрещенными зонами. В двумерном и трехмерном случаях это не всегда имеет место. Изоэнергетическая поверхность в k - пространстве для энергии EF называется поверхностью Ферми. Для свободных электронов оная является сферой, а в действительности для электронов кристалла зависит от конкретных свойств кристалла и часто имеет весьма причудливый вид. Форма поверхности определяет характер движения электронов с энергией, близкой к EF, а именно эти электроны участвуют в переносе заряда, т.е. создании электрического тока
Ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла и имеет величину около нескольких эВ. Соответственно расстояние между разрешенными уровнями ≈ 10-23 эВ. Существование энергетических зон позволяет с единой точки зрения объяснить существование металлов диэлектриков и полупроводников.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|