 |
ускорение частицы есть первая производная скорости по времени: или
|
|
|
|
ускорение частицы есть первая производная скорости по времени: или
вторая производная пути по времени: 
Здесь использованы для производных «громоздкие» обозначения Лейбница, которые позволяют легко определить размерность скорости и ускорения при любом выборе единиц измерения, в нашем случае 
и 
(квадратные скобки используются для обозначения размерности величины, стоящей внутри них). 
Компактные обозначения производных Лагранжа 
и 
такими достоинствами не обладают.
Приступим к решению нашей задачи. Так как тело (частица) движется прямолинейно по закону 
то его скорость
ускорение
Вычислим скорость и ускорение в момент времени 
с:
( скорость есть векторная величина, отрицательное ее значение соответствует направлению, противоположному выбранному нами положительному направлению на прямой);
Примерный вариант контрольной работы № 4
по интегральному исчислению в случае функции одной переменной
1. Вычислить следующие интегралы:
а) 
б) 
в) 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
3. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси 
плоской фигуры, ограниченной линиями 
и 
4. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость) 
Перед выполнением контрольной работы № 4 полезно ознакомиться с учебными пособиями [6] и [7], которые содержат необходимый теоретический материал и решения большого количества примеров. Задачи 2 и 3 взяты из учебного пособия [7].
Решение задачи № 1
В этой задаче требуется вычислить неопределенные интегралы, то есть найти функции, производные от которых равны подынтегральным функциям, стоящим в этих интегралах.
|
|
|
Основой вычисления неопределенных интегралов являются: таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций; свойства неопределенных интегралов; теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям (см. [1], [2] и [6]).
Решение примера а)
Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов
и воспользуемся теоремой о замене переменной для вычисления интегралов 
и 
.
В интеграле
сделаем замену переменной 
Тогда 
и, вспоминая определение дифференциала функции, находим, что
В результате интеграл преобразуется к виду
где 
– произвольная постоянная.
В данном случае переход в подынтегральном выражении от переменной 
к переменной 
можно осуществить проще.
Так как в интеграле имеется выражение 
, то после выбора подстановки 
сразу вычислим дифференциал
. Откуда 
В результате интеграл вновь преобразуется к виду
в последнем выражении необходимо подставить вместо , то есть
При определенном навыке использование теоремы о замене переменной при вычислении интеграла можно оформить следующим образом.
Используя определение дифференциала функции и основные правила вычисления дифференциалов, преобразуем выражение
Подставляя это выражение в интеграл , получаем
Здесь выражение 
рассматривается как единый символ.
Этот способ оформления принято называть способом подведения части подынтегральной функции под знак дифференциала.
Замечание. Для проверки правильности полученного результата нужно убедиться, что производная найденной функции совпадает с подынтегральной функцией.
В интеграле 
сделаем замену 
.
Тогда
|
|
|
и интеграл преобразуется к виду
где 
– произвольная постоянная интегрирования.
Если воспользоваться способом подведения части подынтегральной функции под знак дифференциала, то, учитывая, что
получаем
Здесь выражение 
воспринимается как единый символ.
Ещё раз отметим, что, по существу, способ подведения части подынтегральной функции под знак дифференциала – это специфическая форма применения теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле.
Ответ примера а): 
где 
– новое обозначение для произвольной постоянной интегрирования.
|
|
|
