 |
Матрицы. Основные определения. Действия с матрицами
|
|
|
|
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических
выражений, состоящая из m строк и n столбцов
- i - я строка 
- j - й столбец
называется матрицей.
Числа а ij, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Определение 2. Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей – строкой.
Определение 3. Матрица, состоящая из одного столбца, называется
матрицей – столбцом.
Определение 4. Матрица, у которой число строк совпадает с числом
столбцов, называется квадратной.
Пример 1. 
квадратная матрица 2 – го порядка;
квадратная матрица 3 – го порядка.
Обозначение: матрицы, как правило, обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, …, или с указанием их размера m ´ n: А m ´ n, В m ´ n, …, а элементы матрицы обозначаются маленькими буквами а ij, в ij, с ij, … с индексами, указывающими на номер строки i и столбца j, в которых расположен указанный элемент.
Определение 5. Матрица, у которой все элементы с индексами i ¹ j (вне
главной диагонали) равны нулю, называется диагональной.
Пример 2. 
; 
- диагональные матрицы.
Определение 6. Единичной называется матрица Е с единицами на главной
диагонали:
Е = 
.
Определение 7. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется
|
|
|
нулевой и обозначается О.
Определение 8. Матрицы А и В называются равными, если они имеют
одинаковые размеры и при этом элементы матриц А и В,
расположенные на одинаковых местах, равны между собой:
а i j = b i j " i, j.
Действие (или операция), согласно которому все строки некоторой произвольной матрицы А преобразуются в столбцы, а все столбцы этой матрицы преобразуются в строки, называется транспонированием. Транспонированная матрица обозначается А Т.
Определение 9. Матрица АТ, элементы которой а Т i j = а ij " i, j,
называется транспонированной.
Пример 3. Если матрица А = 
то АТ = 
Определение 10. Симметричной называется квадратная матрица, у
которой а ij = а ji " i, j (т.е. элементы, расположенные
симметрично относительно главной диагонали, равны).
Пример 4. 
.
Определение 11. Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется
матрица С тех же размеров, элементы которой
с ij = а i j + в i j " i, j.
Пример 5. 
Свойства сложения матриц
1. А + В = В + А (коммутативность).
2. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность).
3. А + О = О + А = А.
Определение 12. Произведением матрицы на число l называется матрица В
тех же размеров, что и матрица А, причем b ij = l а ij " i, j.
Пример 6. 3× 
Свойства умножения матрицы на число
1. l(m A) = (lm) A (ассоциативность).
2. l(A + B) = l A + l B (дистрибутивность).
3. (l + m) A = l A + m A (дистрибутивность).
Пример 7. 2 
Определение 13. Произведением двух матриц А и В называется матрица С,
|
|
|
у которой элемент с ij равен сумме произведений каждого
элемента i –й строки матрицы А на соответствующие
элементы j –го столбца матрицы В
c i j = 
(i = 1,2, …,m; j = 1,2, …, n).
Замечание 1. Умножение двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, т.е.
А m ´ k × B k ´ n = C m ´ n.
Замечание 2. Произведением двух квадратных матриц А и В одинакового размера является квадратная матрица С того же размера.
Пример 8. Найти произведение АВ, если А = 
и В = 
Решение. АВ =
= 
.
Свойства умножения матриц
1. (АВ) С = А (ВС) (ассоциативность).
2. (А + В) С = АС + ВС (дистрибутивность).
3. АВ ¹ ВА (вообще говоря) – отсутвие коммутативности.
4. АО = О; ОА = О.
5. АЕ = А; ЕА = А.
Определение 14. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА называются
коммутирующими (или перестановочными).
|
|
|
