Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы
Стр 1 из 9Следующая ⇒ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания для подготовки к аудиторной контрольной работе студентов заочной формы получения высшего образования по учебной дисциплине «Высшая математика»
в трех частях
Часть II
Могилев 2014 УДК 519.21 ББК 22.1 Рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математики Протокол № 4 от 20. 11. 2014 г.
Составители: к.ф.-м. н., доцент В.Э.Гарист старший преподаватель Л.И.Рыдевская ассистент Ю.М.Гребенцов
Рецензент д.ф.-м. н., доцент А.М.Гальмак
УДК 51 ББК 22.1 © Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия», 2014 Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1. Уметь определять порядок дифференциального уравнения. 2. Знать определение общего и частного решения дифференциального уравнения. 3. Знать определение дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородного, линейного и уметь решать их. 4. Знать определение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 5. Определять вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Задания для самостоятельного выполнения 1. Определить порядок дифференциального уравнения: а) б) в) г) 2. Показать, что функция 3. Решить дифференциальные уравнения: а) б) в) 4. Найти общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
а) б) в) 5. Указать вид частного решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью: а) в) д) Образцы решения заданий Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка
Решение. Преобразуем данное уравнение. Слагаемые с множителем dx перенесем в левую часть равенства, а слагаемые с dy – в правую часть. Имеем:
Вынесем общие множители за скобки:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
Интегрируем обе части последнего равенства:
Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является
Задание 2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
Решение. Так как уравнение линейное, то решаем его с помощью подстановки Бернулли:
Имеем:
которое преобразуем к виду
Так как только произведение Тогда
Интегрируя, получим:
Полагая
Общее решение исходного уравнения
Задание 3. а) Найти общее решение уравнения
Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида
Это однородное уравнение первого порядка относительно функции Разделив переменные и проинтегрировав, получим
Проинтегрировав, получим
б) Найти общее решение уравнения
Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида Подставляя вместо
Решаем подстановкой
Функцию
Подставляя
Тогда Разделив переменные и проинтегрировав, получим
Ответ: Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение
Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Теперь решаем систему уравнений
Следовательно,
Задание 5. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение. Общее решение данного уравнения состоит из суммы общего решения Решим сначала однородное уравнение
Составим и решим характеристическое уравнение Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде В нашем случае Итак, (Если Чтобы найти коэффициент А, найдем
Приведя подобные и сократив на
и частное решение имеет вид
Общее решение данного уравнения: Найдем
И частное решение будет иметь вид Задание 6. Найти частное решение соответствующего однородного уравнения
Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Это квадратное уравнение имеет корни k 1 = – 1, k 2 = 6. По теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения решение запишем в виде
Следовательно, Для нахождения частного решения однородного уравнения найдем производную
Следовательно, частное решение однородного уравнения имеет вид
Теперь укажем вид частного решения заданного в условии неоднородного уравнения. Правая часть уравнения – функция
Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы 1. Знать определение двойного интеграла и его свойства. 2. Уметь вычислять повторный интеграл. 3. Уметь расставлять пределы интегрирования в двойном интеграле. 4. Уметь вычислять площадь фигур с помощью двойного интеграла. 5. Знать определение криволинейного интеграла первого рода и его свойства. 6. Уметь вычислять криволинейный интеграл первого рода. 7. Знать определение криволинейного интеграла второго рода и его свойства. 8. Уметь вычислять криволинейный интеграл второго рода. 9. Знать и уметь применять формулу Грина.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|