Тема 5. Элементы теории функции комплексной переменной.
1.Знать определение функции комплексной переменной и уметь ее геометрически изображать. 2.Уметь находить действительную и мнимую части функции комплексной переменной. 3.Знать определение предела функции комплексной переменной и уметь их вычислять. 4.Знать определение функции непрерывной в точке. 5.Знать определение производной функции комплексной переменной. 6.Знать условия дифференцируемости функции комплексной переменной (условия Коши-Римана).
Задания для самостоятельного выполнения 1 Дана функция б) 2 Определить действительную и мнимую части функции а) 3 Найдите пределы: а) 4 Показать, что функция f (z) дифференцируема и найти ее производную. а) в) Образцы решения заданий. Задание 1. Дана функция Решение. Имеем
Задание 2. Определить действительную и мнимую части функции Решение. Определим действительную и мнимую часть функции Так как
= Следовательно, u (x, y) = x 2 – y 2 - 3 y; v (x, y) = 2 xy + 3 x. Задание 3. Найдите предел Решение. Пусть функция
Производной
если он существует и конечен. Если существует производная Пусть
Эти соотношения называются условиями Коши-Римана. Обратно, если в некоторой точке
Задание 4. Показать, что функция f (z) = iz 3 + z 2 – 3 iz дифференцируема. Решение. Определим действительную и мнимую часть функции f (z) = iz 3 + z 2 – 3 iz, т.е. представим функцию Так как f (z) = iz 3 + z 2 – 3 iz = i (x + iy)3 + (x + iy)2 – 3 i (x + iy) = = i (x 3 + 3 x 2 yi – 3 xy 2 – y 3 i) + x 2 + 2 xyi – y 2 – 3 x i + 3 y = = x 3 i – 3 x 2 y – 3 xy 2 i + y 3 + x 2 + 2 xyi – y 2 – 3 xi + 3 y = = (y3 + x 2 – y 2 – 3 x 2 y + 3 y) + i (x 3 – 3 xy 2 + 2 xy – 3 x). Следовательно, u (x, y) = y3 + x 2 – y 2 – 3 x 2 y + 3 y; v (x, y) = x 3 – 3 xy 2 + 2 xy – 3 x. Проверим выполнение условий Коши–Римана:
Найдем частные производные функций u (x, y) и v (x, y):
Условия Коши-Римана выполняются при всех значениях х и у, следовательно, функция f (z) = iz 3 + z 2 – 3 iz является дифференцируемой на всей комплексной плоскости.
Тема 6. Элементы операционного исчисления. 1.Знать определения оригинала и изображения. Изображения некоторых функций. 2.Используя таблицу основных формул соответствия и теоремы операционного исчисления, уметь находить изображения оригиналов и оригиналы по их изображениям. 3.Уметь находить изображения дифференциального выражения. 4.Уметь находить операционным методом частные решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задания для самостоятельного выполнения 1 Найти изображение F (p) по заданному оригиналу f (t): а) 2 Найти оригинал f (t) по изображению F (p): а) в) 3 Найти изображение дифференциального выражения: а) б) в) 4 Операционным методом найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. а) Образцы решения заданий Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) f (t) – кусочно–непрерывная при t ≥ 0, это значит, что она либо непрерывна, либо в каждом конечном интервале имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;
2) f (t) ≡ 0 при t < 0; 3) при t → ∞ функция f (t) растёт не быстрее некоторой показательной функции (имеет ограниченную степень роста), т.е. существует такое положительное число М и такое неотрицательное число s, что для всех t ≥ 0 выполняется неравенство:| f (t) | ≤ M ∙ est, М > 0, s ≥ 0. Точная нижняя грань s Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F (p) комплексного переменного p=s+i F (p) = Связь между функциями f (t)и F (p) будем обозначать в дальнейшем следующим образом: f (t) = L –1{ F (p)} или F (p) = L { f (t)}. Первую запись следует читать так: «Оригинал f (t) имеет изображение F (p)». Вторую запись следует читать так: «Изображение F (p) имеет оригинал f (t)» или «f (t) является оригиналом изображения F (p)». Используются также и другие обозначения.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|