 |
Свойства преобразования Лапласа
|
|
|
|
1 Теорема единственности. Если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва. То есть, если
F (p) = L { f (t)}, Ф (p) = L {φ (t)} и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)
во всех точках непрерывности f (t).
2 Теорема линейности. Если f (t) = L –1{ F (p)}, g (t) = L –1{ G (p)} для любых действительных или комплексных постоянных с 1 и с 2
с 1 f (t) + с 2 g (t) = с 1 L –1{ F (p)} + с 2 L –1{ G (p)}, Re p > s 0( k ) (k = 1,2,)
т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.
3. Теорема подобия. Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого числа а > 0
f (аt) = 
L –1{ 
}, Re p > аs 0,
т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.
4. Теорема запаздывания. Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого положительного числа τ
f (t – τ) = e– рτ L –1{ F (p)}, Re p > s 0.
5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если
f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого действительного или комплексного числа α
eαtf (t) = L –1{ F (р – α)}, Re (р – α) > s 0,
т.е. умножение оригинала на функцию eαt, влечёт за собой «смещение» переменной p.
6. Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f(t), f 
(t), …, f 
(t) являются функциями-оригиналами, то
f / (t) = p L –1{ F (p)} – f (0),
f // (t) = p 
L –1{ F (p)} -p f ( 0) – f / (0),
…
f (t) = p L –1{ F (p)} – p 
f (0) – p 
f / (0) -…-f 
(0).
Величина f 
(0), k= 0, 1, …, n-1, понимается как 
f (t).
7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) = L –1{ F (p)} то функция g (t) = 
также является оригиналом и g (t) = 
L –1{ F (p)}
т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.
|
|
|
На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа можно составить таблицу основных формул соответствия (таблица 6. 1).
Таблица 6. 1 – Таблица основных формул соответствия
| Номер формулы | Оригинал | Изображение |
| ||
| eαt | 
| |
| sin ω t |  
| |
| cos ω t | 
| |
| sh ω t | 
| |
| ch ω t | 
| |
| t | 
| |
| tn | 
| |
| tn ∙ eαt | 
| |
| t ∙ sin ω t | 
| |
| t ∙ cos ω t | 
|
Задание 1. Найти изображение функции 
, используя основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа.
Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции . Из таблиц соответствия известно, что:
1 = L –1{ }.
По теореме об интегрировании оригинала имеем
.
Так как 
, то 
. Тогда по теореме о смещении изображения (затухания) получим
.
Применяя теорему подобия, находим
.
Для нахождения изображения функции 
применим теорему о дифференцировании изображения. Получим
.
Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим
= 2 L –1{ } + 
+ 
+ 
.
Следовательно,
.
Задание 2. Найти оригинал f (t) по изображению 
.
Решение. Используя табличные операционные соотношения и свойства линейности, получаем 
.
Задание 3. Найти изображение дифференциального выражения 
y (t) = L –1{ Y (p)}
Решение. На основании свойства дифференцирования оригинала получаем:
= p L –1{ Y (p)} – y (0),
Используя свойство линейности, находим
,
Применение операционного исчисления к решению линейных
Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и
Непрерывной правой частью
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (6. 1)
f (t) – непрерывная функция действительного переменного.
Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
(6. 2)
где 
– заданные числа (задача Коши).
|
|
|
Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные 
также предполагаем оригиналами. Полагаем f (t) = L –1{ F (p)}, y (t) = L –1{ Y (p)}.
Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).
Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:
Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:
. (6.3)
Из уравнения (6. 3) выразим 
.Искомое частное решение y (t) является оригиналом, соответствующим данному изображению. Оно определяется с помощью таблиц соответствия.
Задание 4. Найти частное решение уравнения 
удовлетворяющее начальным условиям: 
Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y (p) – его изображение. Тогда:
Операторное уравнение будет иметь вид
откуда
.
Дробь 
разложим на сумму простых элементарных дробей и найдем коэффициенты разложения:
Из системы:
Откуда 
.
Тогда
.
Используя таблицы соответствия, найдём: 
Таким образом, искомое частное решение: 
|
|
|
