Свойства преобразования Лапласа
1 Теорема единственности. Если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва. То есть, если F (p) = L { f (t)}, Ф (p) = L {φ (t)} и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t) во всех точках непрерывности f (t). 2 Теорема линейности. Если f (t) = L –1{ F (p)}, g (t) = L –1{ G (p)} для любых действительных или комплексных постоянных с 1 и с 2 с 1 f (t) + с 2 g (t) = с 1 L –1{ F (p)} + с 2 L –1{ G (p)}, Re p > s 0( k ) (k = 1,2,) т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений. 3. Теорема подобия. Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого числа а > 0 f (аt) = т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а. 4. Теорема запаздывания. Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого положительного числа τ f (t – τ) = e– рτ L –1{ F (p)}, Re p > s 0. 5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого действительного или комплексного числа α eαtf (t) = L –1{ F (р – α)}, Re (р – α) > s 0, т.е. умножение оригинала на функцию eαt, влечёт за собой «смещение» переменной p. 6. Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f(t), f f / (t) = p L –1{ F (p)} – f (0), f // (t) = p … f Величина f 7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) = L –1{ F (p)} то функция g (t) = т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.
На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа можно составить таблицу основных формул соответствия (таблица 6. 1). Таблица 6. 1 – Таблица основных формул соответствия
Задание 1. Найти изображение функции Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции 1 = L –1{ По теореме об интегрировании оригинала имеем
Так как
Применяя теорему подобия, находим
Для нахождения изображения функции
Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим
= 2 L –1{ Следовательно,
Задание 2. Найти оригинал f (t) по изображению Решение. Используя табличные операционные соотношения и свойства линейности, получаем Задание 3. Найти изображение дифференциального выражения Решение. На основании свойства дифференцирования оригинала получаем:
Используя свойство линейности, находим
Применение операционного исчисления к решению линейных Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и Непрерывной правой частью Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
f (t) – непрерывная функция действительного переменного. Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
где
Будем предполагать, что функция f (t) является оригиналом. Искомую функцию y (t) и её производные Для решения поставленной задачи (6. 1), (6. 2) перейдём от уравнения (6. 1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p). Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим: Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (6. 1) к операторному уравнению:
Из уравнения (6. 3) выразим Задание 4. Найти частное решение уравнения Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y (p) – его изображение. Тогда: Операторное уравнение будет иметь вид откуда
Дробь Из системы: Откуда Тогда
Используя таблицы соответствия, найдём: Таким образом, искомое частное решение:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|