 |
Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
|
|
|
|
1. Основные сведения о ДУ. ДУ первого порядка. Задача Коши. Общее, частное и особое решения ДУ.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка.
6. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка,
7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений.
8. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура их общего решения.
11. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида.
13. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Векторная запись системы. Метод исключения для решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы.
1. Двойные интегралы, их свойства и вычисление в декартовых координатах.
2. Тройные интегралы, их свойства и вычисление в декартовых координатах.
3. Понятие о криволинейных координатах, якобиане преобразования. Замена переменных в двойном и тройном интегралах.
4. Двойной интеграл в полярной системе координат.
5. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
|
|
|
6. Тройной интеграл в сферической системе координат.
7. Приложения двойных и тройных интегралов.
8. Определение криволинейного интеграла 1-го рода, свойства, вычисление, применение.
9. Определение криволинейных интегралов 2-го рода, свойства, вычисление, применение.
10. Формула Грина.
Тема 3. Числовые и функциональные ряды.
1. Числовые ряды. Сходимость ряда и его сумма.
2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
3. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши, признаки сравнения.
4. Ряд Дирихле и его сходимость.
5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
7. Функциональные ряды. Основные понятия. Область сходимости.
8. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Теорема Абеля.
9. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
10. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
11. Разложение функций в ряды Фурье.
Тема 4. Теория вероятностей.
1. Элементы комбинаторики.
2. Предмет и задачи теории вероятностей.
3. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
4. Классическое, статистическое, аксиоматическое и геометрическое определения вероятности события.
5. Теоремы сложения вероятностей.
6. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
8. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
9. Предельные теоремы в схеме Бернулли: Пуассона, Муавра–Лапласа.
10. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
11. Случайные величины (СВ) дискретные и непрерывные.
12. Закон распределения СВ, ряд распределения дискретной случайной величины.
13. Функция распределения СВ и её свойства.
14. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства.
|
|
|
15. Законы распределения конкретных дискретных случайных величин, имеющих биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона, их числовые характеристики.
16. Непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения непрерывной СВ (плотность распределения СВ), её свойства.
17. Непрерывные СВ, имеющие равномерное, показательное распределения, их числовые характеристики.
18. Непрерывные СВ, имеющие нормальное распределение, числовые характеристики нормального распределения.
19. Свойства и график плотности нормально распределенной СВ, вероятность попадания в интервал.
Тема 5. Элементы теории функции комплексной переменной
1. Определение функции комплексного переменного, понятие об однозначных и многозначных функциях комплексного переменного.
2. Производная функции комплексного переменного в точке. Условия Коши-Римана. Понятие об аналитических функциях.
Тема 6. Элементы операционного исчисления.
1. Определение преобразования Лапласа, оригинал и изображение; соответствие между оригиналом и изображением.
2. Свойства преобразования Лапласа. Теоремы: линейности, подобия, смещения, запаздывания.
3. Теоремы дифференцирования и интегрирования оригинала и изображения.
4. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.
Тема 7. Основные уравнения математической физики.
1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
2. Примеры основных уравнений математической физики. Понятие о граничных и начальных условиях.
3. Понятие о методе Фурье разделения переменных для решения уравнения колебаний ограниченной струны.
4. Понятие о Методе Д’Аламбера решения уравнения колебаний бесконечной струны.
|
|
|
