2.4. Качество оценок параметров bo, b1 и s2: теорема Гаусса-Маркова и метод максимального правдоподобия
2. 4. Качество оценок параметров bo, b1 и s2: теорема Гаусса-Маркова и метод максимального правдоподобия
Оценкой модели (2. 15) по выборке является уравнение регрессии (2. 2): Качество уравнения (2. 2) оценивается по нескольким показателям. Один из них - s2 - выборочная несмещенная оценка остаточной дисперсии (дисперсии возмущений) s2:
где Заметим, что в уравнении (2. 19) число степеней свободы k=n-m=n-2, т. к. две степени теряются (связываются) при определении двух параметров: bo и b1. Вопрос: являются ли оценки bo, b1 и s2 параметров bo, b1 и s2 наилучшими? Ответ на этот вопрос дает теорема Гаусса-Маркова и привлечение метода максимального правдоподобия (табл. 2. 3). Теорема Гаусса-Маркова. Если регрессионная модель (2. 15) удовлетворяет предпосылкам 1-4, то оценки уравнения (2. 7) bo, b1 имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок, т. е. являются эффективными. Таблица 2. 3 Показатели качества оценок bo, b1, s2
Кратко охарактеризуем метод максимального правдоподобия (ММП). Для его применения допустим выполнение предпосылки 5: значения уi - независимые СВ с НЗР, математическим ожиданием М(уi) = bo+b1хi и постоянной дисперсией возмущений s2. . В основе метода лежит функция правдоподобия: L(y1, x1, ... , yn, xn, bo, b1, s2) = =
В качестве оценок параметров bo, b1, s2 в ММП принимаются такие значения, Оценка
2. 5. Доверительный интервал для функции регрессии
Доверительный интервал для функции регрессии, т. е. для условного МО Мх(Y), с заданной доверительной вероятностью (надежностью) g=1-a должен покрыть неизвестное значение Мх(Y). Представим уравнение регрессии в отклонениях в виде:
Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий этих СВ. Учитывая этот факт, а также то, что (х-
Найдем выражения для двух дисперсий правой части уравнения (2. 22). Дисперсия выборочной средней
Дисперсия коэффициента регрессии
Суммируя уравнения (2. 23) и (2. 24), получаем искомую дисперсию (s2 заменена ее оценкой s2):
Обратим внимание на то, что дисперсия Допуская предпосылки 1-5 регрессионного анализа, получаем статистику t = (
На рис. 2. 2 изображены: прямая линия - условное МО Мх(Y) = j(х), две жирные дуги-параболы - это и есть границы доверительных интервалов для
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|