 |
Вопросы для самоконтроля. 2. Парный регрессионный анализ. 2.1. Линейная парная регрессия
|
|
|
|
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определения модели, математической модели, моделирования, эконометрической модели.
2. Охарактеризуйте идею моделирования по принципу черного ящика, его связь с эконометрической моделью, типы переменных.
3. Раскройте содержание понятия: регрессионная модель.
4. Чем обусловлены проблемы получения больших однородных выборок?
5. Что такое пространственные и временные данные?
6. В чем суть гомоскедастичности дисперсии ошибок?
7. Каким четырем условиям удовлетворяют (или нет) ошибки регрессии?
8. Какие методы (приемы) сочетаются в процедуре спецификации функции, сколько их?
9. Назовите достоинства и недостатки линейных регрессионных моделей.
10. Какие линейные регрессионные модели называются классическими?
11. В чем отличие системы одновременных уравнений регрессии от простого набора регрессионных уравнений?
12. Что такое лаговая переменная, чем она отличается от обычной объясняющей переменной?
13. В чем суть процедуры спецификации модели?
14. В чем суть процедуры верификации модели, назовите несколько приемов верификации.
2. Парный регрессионный анализ
2. 1. Линейная парная регрессия
Методы и модели регрессионного анализа занимают центральное место в математическом инструментарии эконометрики. Наиболее часто используется парная регрессия, когда рассматривается пара переменных: одна объясняющая (синонимы - входная, экзогенная, регрессор) переменная Х и одна – объясняемая (синонимы - выходная, результирующая) переменная Y – обязательно случайная величина.
Регрессией называют функцию, отражающую зависимость математического ожидания (МО) СВ Y от значений Х (такую зависимость называют также корреляционной). По определению регрессия есть условное МО СВ Y:
|
|
|
| Мх(Y) = j(х). | (2. 1) |
На практике точно не известно условное МО СВ Y, т. е. функция j(х). Поэтому можно говорить лишь о приближенном построении - оценке такой функции. Исходными данными для этого служат n пар значений Х и Y: xi и yi при i=1, 2, ... , n.
В случае парной линейной регрессии в качестве оценки - выборочного уравнения регрессии - принимается прямая линия:
 = bo +b1x.
| (2. 2) |
Неизвестные параметры bo и b1, как правило, определяются методом наименьших квадратов: значения параметров должны доставлять минимум сумме квадратов отклонений наблюденных значений yi от теоретических значений 
, определяемых регрессией (2. 2):
| S(bo, b1) = å ( - yi)2 = å (bo +b1xi - yi)2 ® min.
| (2. 3) |
Теоретически для оценки параметров bo и b1 можно использовать и метод наименьших модулей отклонений å ç - yiç. Однако метод наименьших квадратов (МНК), во-первых, проще, во-вторых, его применение обосновывается законом больших чисел, в-третьих, позволяет проводить глубокий анализ качества эконометрической модели.
Для отыскания значений параметров bo и b1 эконометрической модели (2. 2) с помощью МНК приравниваем нулю частные производные S по bo и b1 и получаем систему двух уравнений:
| ¶S/¶ bo = 2å (bo +b1xi - yi) = 0 ¶S/¶ b1 = 2å (bo +b1xi - yi) xi = 0. | (2. 4) |
Отсюда после преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными bo и b1:
bon + b1å xi = å yi,
boå xi + b1å  = å xi yi.
| (2. 5) |
Разделим 1-е уравнение на n и получим полезное соотношение: линия регрессии проходит через точку средних значений ( 
, 
):
| = bo +b1 .
| (2. 6) |
Разрешая (2. 6) относительно bo , подставляя это значение во 2-е уравнение системы (2. 5), получим искомые формулы для расчета значений параметров уравнения регрессии:
|
|
|
bo =  - b1 
b1 = 
| (2. 7) |
где sx2 - выборочная дисперсия переменной Х:
 = å  /n - (  )2.
| (2. 8) |
- выборочная ковариация:
 = å xi yi /n - 
| (2. 9) |
Параметр b1 называется коэффициентом регрессии (выборочным). Он показывает, на сколько единиц в среднем возрастет (уменьшится) 
при увеличении х на одну единицу.
Параметр b0 в зависимости от задачи может иметь смысл, а может и не иметь. Например, если - расход электроэнергии, а х – объем производства, то параметр b0 - условно-постоянный расход электроэнергии при нулевом производстве. Если b0< 0, то экономического смысла он, как правило, не имеет.
Пример 2. 1 [4, с. 10]. Построить уравнение парной линейной регрессии для данных табл. 2. 1, где Y - расходы на покупку продовольственных товаров, % от общих расходов и Х - среднедневная зарплата, руб. /чел. × сут.
Таблица 2. 1
|
|
|
