Рис. 1.2. Пример функции распределения для дискретной СВ

Рис. 1. 2. Пример функции распределения для дискретной СВ

 

Свойства функции распределения (ФР):

1. ФР СВ есть неотрицательная функция: 0 £ F(x) £ 1.

2. ФР СВ есть неубывающая функция: если х₁< х₂, то F(x₁) £ F(x₂)

3. F(-¥ ) = 0, F(+¥ ) = 1.

4. Вероятность попадания СВ Х в интервал [х₁, х₂) равна приращению ее ФР на этом интервале: Р(х₁ £ Х < х₂ ) ₌ F(х₂) - F(х₁).

     СВ Х называется непрерывной, если ее ФР непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

     Плотность вероятности (распределения) j(х) непрерывной СВ есть производная ее ФР: j(х) = F’(x). Плотность вероятности существует только для непрерывных СВ.

     Свойства плотности вероятности j(х) СВ Х:

1. j(х) неотрицательная функция: j(х) ³ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной СВ в интервал [а, b]:

 

P(a £ X £ b) = .		(1. 7)
33.	F(x) = .	(1. 8)
44.	.	(1. 9)

 

     Для непрерывной СВ Х МО и дисперсия определяются так:

 

а = М(Х) = ,	(1. 10)
D(x) = , или D(x) = .	(1. 11)

 

     Числовые характеристики СВ, включая МО, дисперсию, СКО, делятся на начальные n_k и центральные m_k моменты k-го порядка:

 

для дискретных СВ:
nk = S pi	mk =S (xi - a)kpi,
для непрерывных СВ:
nk=	mk= .

 

 

1. 3. Основные распределения случайных величин

 

     1. Дискретная СВ имеет биноминальный ЗР, если она принимает значения 0, 1, 2, ... , m, ... , n с вероятностями (формула Бернулли):

 

Р(Х=m) = pmqn-m,

(1. 12)

где 0 < p < 1, q = 1-p, m = 0, 1, ... , n.

     Биноминальный ЗР представляет собой закон распределения числа X = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одинаковой вероятностью р. Числовые характеристики ЗР: М(Х) = np, D(X) = npq.

2. Дискретная СВ Х имеет ЗР Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ... ,..., m, ... с вероятностями:

 

.

(1. 13)

 

Для ЗР Пуассона М(Х) = l, D(X) = l.

     3. Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) ЗР, если ее плотность вероятностей имеет вид:

 

(1. 14)

 

Числовые характеристики: М(Х) = 1/l, D(X) = 1/l².

     4. Непрерывная СВ Х распределена по равномерному ЗР, если ее плотность вероятности имеет вид:

 

(1. 15)

 

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = (a+b)/2, D(X) = (b-a)²/12.

5. Непрерывная СВ Х имеет нормальный ЗР (закон Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

 

jN(х) = .

(1. 16)

 

Числовые характеристики ЗР: М(Х) = a, D(X) = s². Если а=0 и s²=1, то такой нормальный ЗР называется стандартным (нормированным). С его помощью определяется функция (интеграл вероятностей) Лапласа, которая равна  площади  под  стандартной  нормальной  кривой N(0, 1) на отрезке [-х, х]:

Ф(х) = .

 

Через функцию Лапласа выражается нормальная функция распределения СВ Х:

 

(1. 17)

 

     Свойства СВ Х, распределенной по НЗР:

1) Вероятность попадания СВХ в интервал [-х, х]:

 

P(x1 £ X £ x2) =

(1. 18)

 

где t₁ = (x₁- а)/s и t₂ = (x₂- а)/s.

2) Вероятность того, что отклонение СВ Х от МО а не превысит некоторую D> 0, равна:

 

P(| X-а| £ D) = Ф(t),

(1. 19)

 

где t=D/s.

     Отсюда вытекает правило трех сигм: если СВ Х имеет ЗР N(a, s²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3s, а+3s).

     6. Распределением c² (хи-квадрат) с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых СВ, распределенных по стандартному НЗР:

 

,

(1. 20)

 

где Z _i имеет ЗР N(0, 1).

7. Распределением Стьюдента (t-распределением) называется распределение СВ t:

 

,

(1. 21)

 

где Z - СВ с НЗР N(0, 1), c² - не зависимая от Z СВ с c²-распределением с k степенями свободы. Уже при k > 30 распределение можно считать нормальным.

8. Распределением Фишера-Снедекора (F-распределением) называется распределение СВ F:

 

,

(1. 22)

 

 

где c²(k₁) и c²(k₂) - СВ, имеющие c² - распределения с k₁ и k₂ степенями свободы.

 

1. 4. Многомерные случайные величины и условные законы распределения

 

     Упорядоченный набор Х= (X₁, X₂, ... , X_n ) случайных величин называется n-мерной СВ.

     Функцией распределения n-мерной СВ (X₁, X₂, ... , X_n ) называется функция F(x₁, x₂, ... , x_n), являющаяся вероятностью совместного выполнения n неравенств:

 

F(x1, x2, ... , xn) = Р(Х1< х1, Х2< х2, ... , Хn< xn).

(1. 23)

 

     Двумерная функция распределения:

 

F(x, y) = Р(Х< х, Y< y).

(1. 24)

         

Свойства ФР F(x, y):

1. 0 £ F(x, y) £ 1.

2. Если x₁ < x₂, то F(x₁, y) £ F(x₂, y), аналогично и для y₁ < y₂.

3. F(x, -¥ ) = F(-¥, y) = F(-¥, -¥ ) = 0.

4. F(x, ¥ ) = F₁(x), F(¥, y) = F₂(y), где F₁(x) и F₂(y) - функции распределения СВ Х и Y соответственно.

5. F(¥, ¥ ) = 1.

     Плотностью вероятности (совместной плотностью) непрерывной двумерной СВ (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее ФР:

 

j(x, y) = Fxy”(x, y) =

(1. 25)

     Свойства плотности вероятности двумерной СВ j(x, y):

1. j(x, y) ³ 0.

2. P((x, y) Î D) = .

3. F(x, y) = .

4. .

     Условным ЗР СВ Х, взятой из двумерной СВ(Х, Y), называется закон распределения СВ Х, полученный при условии, что другая СВ Y приняла определенное значение. Условная плотность вероятности  j_y(x) двумерной СВ (Х, Y) определяется формулой:

 

j_y(x) = .

 

Числовые характеристики условного распределения: условное МО а(у)=М_у(Х) и условная дисперсия s²(у)=D_y(X). Другие их обозначения: М(Хê у) и D(Хê у).

     Условное МО СВ Y при Х=х, т. е. М_х(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии (регрессией) Y по Х.

     Пример. Пусть двумерная СВ (Х, Y) и ее ЗР j(x, y) являются некоторой моделью железной дороги, причем СВ Х - количество порожних вагонов в суточной заявке порта, СВ Y - количество поставленных порожних вагонов за сутки в порт. Тогда регрессия М_х(Y) показывает соотношение между заявкой и поставкой вагонов в среднем (рис. 1. 3).

 

Мх(Y) (шт. )
							X (шт. )

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: