1.7. Точечные и интервальные оценки параметров

 

     Оценкой   параметра Q называют всякую функцию от результатов над n наблюдениями СВ Х, посредством которой судят о значении параметра Q. Оценку  называют также статистикой.

     Если Q - величина детерминированная, то ее оценка   - случайная величина, которая в смысле качества оценивания может быть лучше или хуже. Качество оценивания определяется по трем критериям: несмещенность, состоятельность, эффективность.

     Оценка   параметра Q называется несмещенной, если ее МО равно параметру Q:

 

М( ) = Q.

(1. 36)

 

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

     Оценка  параметра Q называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к Q:

 

lim P(ê - Q ê £ e) = 1 при n®¥.

(1. 37)

 

Как видно, с увеличением объема n выборки значительные ошибки оценивания становятся все менее вероятными.

     Оценка  параметра Q называется эффективной, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок, вычисленных по выборкам одного объема n. Эффективность является решающим критерием качества оценивания, поскольку совмещает в себе два критерия.

     Основным методом получения оценок параметров по данным выборки является метод максимального правдоподобия. Согласно ему в качестве оценки  принимается такое ее значение, которое максимизирует функцию правдоподобия L:

 

L(x1, x2, ... , xn, Q) = P ji(xi, Q).

(1. 38)

 

Функция L есть плотность вероятности (вероятность) совместного появления данных выборки x₁, x₂, ... , x_n, Получаемая из выражения Arg(L(x₁, x₂, ... , x_n, Q)  max) =  оценка такова, что имеющиеся у нас наблюдения являются наиболее правдоподобными.

     Достоинство метода максимального правдоподобия: получаемые с его помощью оценки состоятельны, асимптотически (при n®¥ ) эффективны и имеют асимптотически (при n®¥ ) нормальный ЗР.

     Пусть имеется выборка x₁, x₂, ... , x_n, по которой методом максимального правдоподобия оцениваются параметры распределения СВ Х. Тогда:

выборочная средняя          = å n_ix_i/n,

выборочная дисперсия               s² = å n_i(x_i - )²/n,

выборочная доля                        w=m/n.

Здесь   и w - несмещенные, состоятельные и эффективные (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценки для МО а и вероятности р, а s² - смещенная, но состоятельная оценка дисперсии s².

     Обычно в качестве оценки используется исправленная выборочная дисперсия, которая является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии s².

 

.

         

Мы рассмотрели точечные оценки параметров. Помимо них существуют интервальные оценки.

     Интервальной оценкой параметра Q называется интервал ( , ), который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра Q. Интервал ( , ) называется доверительным, а вероятность g - доверительной вероятностью (надежностью) оценки. Величина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки n и растет с ростом доверительной вероятности g.

     Пример построения доверительного интервала. Пусть x₁, x₂, ... , x_n, -выборка, полученная случайным отбором с повтором из генеральной совокупности с НЗР. Пусть  и - средние выборочная и генеральная, s - выборочное СКО, - СКО выборочной средней. Поскольку статистика ( - )/ = ( - )  имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, доверительный интервал для генеральной средней  с доверительной вероятностью g будет таким:

 

( - tg, n-1 ,  + tg, n-1 ).

(1. 39)

 

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: