1.5. Двумерный нормальный закон распределения
Рис. 1. 3
Свойства условного МО: 1. Если Z = z(X), где z - неслучайная функция от Х, то Mz(Mx(Y)) = =Mz(Y), в частности, М(Мх(Y)) = М(У). 2. Если Z = z(X), то Mz(Z× Y) - Z× Мх(Y). 3. Если СВ Х и Y независимы, то Мх(Y) = М(Y) (на рис. 1. 3 это была бы горизонтальная прямая). Для независимых СВ j(x, y) = j1(x)∙ j2(y), или jу(x) = j1(x) и jх(y) = j2(y), где j1 и j2 - плотности одномерных СВ Х и Y, jу(x) и jх(y) - плотности условных распределений Х по Y и Y по Х. Зависимость между двумя СВ называется статистической, если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой. Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(Х, Y) СВ Х и Y называется МО произведения отклонений этих величин от своих МО:
Другие обозначения ковариации: Кху, . Ковариация двух СВ характеризует, во-первых, степень их взаимозависимости, во-вторых, их рассеяние вокруг точки (ах, ау). Для измерения только тесноты связи двух СВ применяют безразмерный коэффициент корреляции r:
Свойства ковариации: 1. Cov(Х, Y) = 0, если Х и Y независимы. 2. Cov(Х, Y) = М(Х, Y) - ах ау. 3. ê Cov(Х, Y)ê £ sхsу. Свойства коэффициента корреляции r: 1. -1 £ r £ 1. 2. r = 0, если СВ Х и Y независимы. Обратное утверждение неверно. 3. если ê r ê = 1, то СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью.
1. 5. Двумерный нормальный закон распределения
СВ (Х, Y) распределена по двухмерному нормальному закону распределения, если ее совместная плотность имеет вид:
Здесь пять числовых характеристик: М(Х) = ах , М(Y) = ау, D(Х) = sх2, D(Y) =sу2, rху = r.
Одномерные ЗР этих же СВ Х и Y также нормальные: N(aх, sх2), N(ay, sy2). Нормальными являются и условные ЗР Х по Y и Y по Х с числовыми характеристиками:
Как видно из уравнений (1. 30) и (1. 32), регрессии Му(Х), Мx(Y) нормально распределенных СВ являются прямыми линиями. Отсюда ясно, что для НР СВ из некоррелированности следует их независимость (при r=0 параметры условных ЗР, а значит и сами условные распределения, не зависят от смежной переменной из пары (Х, Y)). Двумерный НЗР обобщается на р-мерный для СВ Х=(Х1, Х2, ... , Хр). Он характеризуется вектором математических ожиданий а=(а1, а2, ... , ар) и ковариационной матрицей å х = (sij)рxр, где sij =М((Хi-ai)(Xj-aj)) – смешанный момент второго порядка – аналог дисперсии одномерной случайной величины.
1. 6. Закон больших чисел и предельные теоремы
Под законом больших чисел в широком смысле понимается следующее установленное свойство: совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Этот закон раскрывается в форме нескольких теорем. Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых СВ X1, X2, ... , Xn ограничены одной и той же постоянной, то при n®¥ средняя арифметическая случайной величины сходится по вероятности к средней арифметической их МО а1, а2, ... , аn:
Частота события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р, при n®¥ сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:
Теорема Ляпунова. Если независимые СВ Х1, Х2, ... , Хn имеют конечные МО и дисперсии, при этом ни одна из этих характеристик резко не выделяется среди остальных, то при n®¥ ЗР их суммы å Xi неограниченно приближается к нормальному.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|