 |
Приемы рациональных вычислений в начальных классах
|
|
|
|
Приемы рациональных вычислений имеют в основе хорошее знание свойств арифметических действий, знание порядка выполнения действий и умение изменять этот порядок в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения. К приемам рациональных вычислений можно также отнести приемы, облегчающие устное сложение и умножение: понимание закономерности изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов, а также приемы умножения на 10,100, 1 000, 5,15, 25, 50 и т. п.
Цель применения приемов рациональных вычислений — упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычислений форме.
Первыми приемами рациональных вычислений можно считать все свойства сложения, умножения и деления, с которыми дети знакомятся в процессе освоения вычислительной деятельности
Например:
34 + 118 + 16 - (34 + 16) + 118 - 50 + 118 = 168 - применили переместительное и сочетательное свойство сложения: слагаемые переставили местами для удобства вычислений, а затем заменили сумму двух соседних слагаемых ее значением.
156 + 44 + 97= 156 + (4 + 40) + 97=(156 + 4) + 40 + 97 = 160 + 40 + + 97 = 200 + 97 = 297 — применили разрядное разложение числа 44 и группировку слагаемых.
497 + 228 = 497 + (3 + 225) = (497 + 3) + 225 = 500 + 225 = 725 -применили замену слагаемого суммой удобных слагаемых и группировку слагаемых.
Знаменитый пример Гаусса: надо найти сумму первых 100 натуральных чисел.
1 + 2+ 3 + 4+... + 97 +98+ 99 +100»?
Применим парную группировку слагаемых: 1 + 99 = 100
2 + 98 = 100
3 + 97 = 100...
49 + 51 = 100
Таких сумм будет 49. Остается число 50 и число 100.4 900 + 100 + + 50 = 5 050.
К приемам рациональных вычислений можно отнести приемы, порожденные наблюдением за закономерностью изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.
|
|
|
Например:
Прибавление к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяет, поэтому
28 - 9 = (28 + 1) - (9 + 1) = 29 - 10 = 19
825 - 97 = (825 + 3) - (97 + 3) = 828 - 100 = 728
Зная эту закономерность, легко вычислять в уме примеры вида: 64-8; 132 - 29; 102 - 8 — которые при выполнении по общему принципу вычитания по частям являются очень трудоемкими.
Тот же прием можно использовать в виде «округление одного или нескольких слагаемых»:
Слагаемые заменяют ближайшими к ним «круглыми» числами, затем из суммы «круглых» чисел вычитают или прибавляют соответствующие дополнения.
187 + 58 = (190 + 60) - (3 + 2) = 250 - 5 = 245
282 + 79 = (280 + 80) + 2 - 1 = 361
Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания позволяет рационализировать вычисления не только в средних классах школы, но и в начальных классах.
Например:
7•3 + 7•4 = 7• (3 + 4) = 7•7 = 49
54 • 11 - 49 • 11 = 11 • (54 - 49) = 11 • (55 - 50) = 11 • 5 = 55
7 • 55 + 7 • 45 + 3 • 55 + 3 • 45 = 7 • (55 + 45) + 3 • (55 + 45) = = 7•100 + 3•100 = 100 • (7 + 3) = 100 • 10 = 1 000
Распределительное свойство деления относительно сложения и вычитания дает возможность рационализировать вычисления в такой же мере:
(320-64):8+ 16 = 320:8-64:8+ 16 = 40-8+16 = 32+ 16 = 48 В данном случае, фактически был нарушен канонический порядок действий (действия в скобках выполняется первым), но это нарушение позволялось правилом деления суммы (разности) на число. На последнем шаге практически можно было действовать проще, поскольку прибавление 16 — это прибавление двух восьмерок, и с учетом вычитания одной восьмерки, реально остается только одна восьмерка, т. е. сразу 40 + 8 = 48. Однако подобные перестановки ученику начальной школы не позволяет самое первое, выученное им правило: действия сложения и вычитания в выражениях без скобок выполняют по порядку слева направо.
В качестве рационализирующего приема можно рассматривать очевидную возможность не выполнять некоторые арифметические действия в исходном выражении.
|
|
|
Например: (101 010 - 37 564) + 37 564 = 101 010
К разности прибавляется вычитаемое, очевидно, что производить действия в скобках нет смысла. При этом не предполагается рассуждение вида «сумма чисел противоположных знаков, равных по модулю, равна нулю» — младшие школьники не знакомы с этим свойством и этими числами.
137 (53 812-34 946) 0 = 0
Анализ выражения показывает, что это произведение, в котором один из множителей равен нулю, следовательно все произведение равно нулю.
Более подробно рассмотрим приемы так называемого «быстрого умножения».
Приемы умножения на 10,100,1000 и другие разрядные единицы рассматривались в п. 11.
Прием умножения на 5:
Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10, а затем результат разделить пополам.
Например:
38 • 5 =?; 38 • 10 = 380; 380:2 = 190, значит, 38 • 5 = 190.
Прием умножения четных чисел на 5: Чтобы умножить число на 5, можно разделить его на 2 и результат умножить на 10.
Например:
84-5 = 84:2-10 = 42-10 = 420
62 482 - 5 = 62 482: 2 • 10 = 31 241 • 10 = 312 410
Прием умножения на 15:
Чтобы умножить число на 15, нужно умножить его на 10, затем умножить его на 5, и результаты сложить.
Например:
65 • 15 =? 65 • 10 - 650 65 • 5 = 65 10:2 = 650:2 = 325 650 + 325 = 975
Прием умножения на 25:
Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100, и полученный результат разделить на 4.
Например:
12 • 25 =? 12 • 100 = 1200 1200: 4 = 300
В данном примере можно было действовать и другим способом:
12 • 25= 25 • 12 = 25 • 4 • 3 = 100 • 3 = 300
Сначала применяется перестановка множителей, затем второй множитель заменяется произведением двух чисел и применяется сочетательное свойство умножения.
Прием умножения на 125:
Чтобы умножить число на 125, можно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.
296 • 125 - 296 • 1000: 8 = 296 000: 8 = 37 000
Прием умножения на 75:
Чтобы умножить число на 75, можно разделить его на 4, умножить частное на 3, а результат умножить на 100.
268 • 75 = 268:4 • 3 • 100 = 67 • 3 • 100 = 20 100
Прием умножения четного числа на 55: Чтобы умножить четное число на 55, можно разделить его на 2, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.
398 • 55=398:2 • (100 +10) = 199 (100 +10) = 19 900 +1990 = 21890
Прием умножения двух одинаковых множителей, число единиц в которых равно 5:
Чтобы выполнить умножение, можно количество десятков умножить на последующее число и к полученному результату приписать 25.
|
|
|
35 • 35 = 1225 75 • 75 = 5625 45 • 45 = 2025
3-4 = 12 7-8 = 56 4-5 = 20
Прием умножения на 9 (99,999):
Чтобы умножить число на 9 (99, 999), можно умножить его на 10 (100, 1000) и из полученного результата вычесть само число.
24-9 = 24-10-9 = 240-9 = 231
52 • 99 = 52 • 100 - 52 = 5200 - 52 = 5148
Прием умножения двузначного числа на 99: Чтобы умножить двузначное число на 99, можно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.
63 • 99 = 6237 79 • 99 = 7821
Прием умножения двузначного числа на 11: Чтобы умножить двузначное число на 11, можно раздвинуть его числа и вставить между ними их сумму. Если сумма является двузначным числом, то единицы суммы вставляются между цифрами, а десятки прибавляются к первой цифре.
43 11 = 473 73 11 = 803
Прием умножения двузначного числа на 101: Чтобы умножить двузначное число на 101, можно справа к нему приписать само число.
57 101 = 5757 98-101 = 9898
Прием деления на 4 (8, 16)
Чтобы разделить число на 4 (8, 16), можно разделить его на 2 дважды (трижды, четырежды).
84:4 = 84:2:2 = 42:2 = 21
Прием деления на 5:
Чтобы разделить число на 5, можно умножить его на 2, а результат разделить на 10.
175:5 = 175-2:10 = 350:10 = 35
Прием деления на 25:
Чтобы разделить число на 25, можно число умножить на 4, а результат разделить на 10.
315: 25 = 315 • 4: 10 = 1260: 10 = 126
Прием деления на 125:
Чтобы разделить число на 125, можно число умножить на 8, а результат разделить на 1000.
405 000:125 = 405 000 • 8:1000 = 3 240 000: 1000 = 3240
Использование этих приемов позволяет производить устно достаточно сложные вычисления, требующие обычно применения письменных способов вычислений. Естественно, практически очень трудно выучить наизусть все эти приемы, но наиболее часто используемые со временем запоминаются. Для остальных приемов дети могут изготовить карточки — на каждый прием по карточке, использование таких «подсказок» поможет ребенку эффективно справляться со многими трудными случаями устного счета.
Глава 4
|
|
|
