 |
Письменное умножение и деление
|
|
|
|
1. Умножение в столбик.
2. Деление в столбик.
Умножение в столбик
Используемые математические законы и правила
Вычисления произведения многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма). Этот алгоритм построен на основе законов сложения и умножения натуральных чисел.
Правило умножения суммы на число:
(a + b + c) •d = a•d + b•d + c•d
При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных слагаемых. Умножение таким образом представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом умножения суммы на число.
Например:
125-3 = (100 + 20 + 5) -3 = 100 -3 + 20-3 + 5-3 = 300 + 60 +15 = 375 Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число. Правило умножения числа на сумму:
а • (b + с +р) = a • b + а•с + а•р
При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Это правило является основой приема умножения многозначного числа на многозначное. Первый множитель — это число, умножаемое на сумму. В качестве суммы в этом случае рассматривается второй множитель, представляемый в виде разрядной суммы. Умножение многозначного числа на многозначное выполняется в соответствии с правилом умножения числа на сумму.
Например:
123 • 212 = 123 • (200 + 10 + 2) = 123 • 200 + 123 • 10 + 123 • 2 = = 24 600 + 1 230 + 246 = 26 076
Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на многозначное число.
|
|
|
Приемы вычислений
Письменное умножение на однозначное число
Записать умножение столбиком можно подробно. Например:
Х 8
+ 160
2400
Но обычно используется краткая запись, поскольку главным достоинством письменных приемов умножения является краткость записи вычислений:
х 8
Сложность состоит в том, что достоинства этого приема на первых порах составляют главную проблему его усвоения, поскольку все опущенные в короткой записи промежуточные вычисления необходимо выполнять в уме (устно), запоминая при этом промежуточные результаты (сколько и каких единиц нужно прибавить к следующему разряду).
Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса умножения «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению умножения и сложения получаемых отдельных сумм:
1. Умножаю единицы: 7 • 8 = 56, 56 это 5 дес. и 6 ед.
2. 6 ед. пишу под единицами, а 5 дес. запоминаю и прибавляю их к десяткам после умножения десятков.
3. Умножаю десятки: 2 дес. -8=16 дес. К 16 дес. прибавляю 5 дес, которые были получены при умножении единиц:
16 дес. + 5 дес. = 21 дес. — это 2 сот. и 1 дес. Пишу 1 дес. под десятками, а 2 сот. запоминаю и прибавляю их к сотням после умножения сотен.
4. Умножаю сотни: 3 сот. • 8 = 24 сот. К 24 сот. прибавляю 2 сот., которые были получены при умножении десятков.
24 сот. + 2 сот. = 26 сот. — это 2 тыс. и 6 сот. Пишу 6 сот. под сотнями, 2 тыс. под тысячами. Читаю ответ: 2 616.
Для прочного усвоения письменных приемов умножения ребенок должен:
1. Запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом.
2. Запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево).
3. Овладеть технологией запоминания и добавления излишних разрядных единиц, получаемых при умножении однозначных чисел, в следующий по старшинству разряд.
|
|
|
Для облегчения (на первых уроках) письменного приема умножения можно:
1) производить подробную, а не сокращенную запись приема. В этом случае выполнять сложение можно по записям неполных произведений, а не в уме, запоминая излишние разрядные единицы (использование этого приема рекомендуется для детей, плохо считающих в уме);
2) производить запись промежуточных вычислений рядом с примером или на черновике — в этом случае все необходимые для запоминания и добавочного прибавления разрядные единицы будут зафиксированы, и ребенок не будет их «терять».
Например:
X 3 5ед.-3=15ед. 15 ед. =fl дес)+ 5 ед.
375 2 дес. -3 = 6 дёс. 6 дес. + 1 дес. =(7 дес.)
1 сот. -3 = 3 сот.
Такая запись часто кажется человеку, владеющему алгоритмом письменного умножения, излишней, слишком подробной. Даже учителя редко пользуются указанными приемами помощи ребенку. Однако следует обратить внимание на то, что взрослый человек (особенно тот, кто учился в «докалькуляторную эпоху») имеет очень большую практику употребления этого алгоритма и, естественно, он уже, как говорят педагоги, автоматизировался, т. е. взрослый человек часто не задумывается над процессом его применения. Ребенку, который только начинает этому учиться намного труднее, особенно, если он при этом не очень тверд в таблице умножения и сложении двузначных чисел в уме.
Письменное умножение на двузначное (и многозначное) число
опирается на правило умножения числа на сумму. Прием письменного умножения на двузначное число можно записать подробно:
329 • 24 = 329 - (20 + 4) - 329 • 20 + 329 • 4 = 6580 + 1316 = 7896 или кратко (в столбик):
Х 24
+658
Число 1316 называют первым неполным произведением, число 6580 называют вторым неполным произведением. Последний нуль (в разряде единиц) в записи числа 6580 при вычислениях в столбик опускают, лишь подразумевая его, для скорости записи. При этом цифру 8 (количество десятков) записывают в разряде десятков (таким образом, второе неполное произведение записывается со сдвигом влево на одну позицию).
Аналогично производится вычисление и запись умножения на трехзначное число:
х729
+764
2674
В этом случае имеем три неполных произведения: 382 • 700 = 267 400 — результат умножения числа 382 на число единиц;
|
|
|
382 • 20 =7 640 — результат умножения числа 382 на число десятков;
382 -9 = 3 438 — результат умножения числа 382 на число сотен. Результат умножения 382 • 729 дает сумма этих неполных произведений.
Записи последних нулей в неполных произведениях при вычислениях в столбик опускаются для экономичности записи, однако они подразумеваются, что показано сдвигом влево на один разряд каждого следующего неполного произведения.
Технически, несмотря на экономичный способ записи, выполнение умножения многозначного числа на двузначное или трехзначное число — процесс сложный и трудоемкий, требующий не только знания способов записи и порядка выполнения действий при письменных вычислениях, но и прочного знания таблицы умножения (до автоматизма), а также умения производить сложение двузначных и однозначных чисел в уме.
Особые случаи
В качестве особых случаев рассматривают случаи умножения целых чисел (чисел с нулями) вида: 35 • 20; 532 • 300; 2540 • 400.
В основе умножения в этих случаях лежит правило умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения): а • (b • с) = (а •) • с = {а • с) • b.
Например:
35 • 20 - 35 • (2 • 10) - (35 • 2) • 10 - 70 • 10 - 700 2 540 • 400 - 2 540 • (4 • 100) - (2 540 • 4) • 100 - 10160 • 100 - 1016 000 Письменное умножение чисел с нулями рассматривается отдельно в связи с тем, что при записи таких вычислений в столбик происходит нарушение общего правила записи чисел при письмен-ном умножении.
Записывают такие случаи следующим образом:
243 532 2 540
x20 Х300х 400
4 860 159 600 1016 000
При этом уже не соблюдается установка: «записываем разряд под соответствующим разрядом». Записывают одну под другой значащие цифры множителей. Например, в последнем случае значащая цифра 4'(число сотен) второго множителя записывается под значащей цифрой 4 (число десятков) первого множителя. Далее умножение производится по принципу «многозначное число умножаем на однозначное», а результат домножается в уме на количество десятков и сотен в множителях. Технически это выглядит как дописывание к результату справа такого же количества нулей, как в обоих множителях.
|
|
|
Сложные случаи письменного умножения
К сложным случаям письменного умножения относят все случаи вычислений, в которых происходит либо нарушение способа записи (для краткости вычислений), либо нарушение порядка выполнения алгоритма.
В общем случае при записи умножения в столбик следует записывать разряд под соответствующим разрядом, а вычисления начинать с умножения первого множителя на единицы младшего разряда (разряда единиц), далее умножают первый множитель на число десятков второго множителя, далее — на число сотен и т. д. Таким образом находят неполные произведения, которые затем складывают, получая результат умножения.
В сложных случаях может происходить нарушение формы записи.
Например:
973 7050 340
x50 x7 x24
48650 49350 136
+68
8160
В первых трех случаях нарушение формы записи можно объяснить наличием нулей (незначащих цифр) в множителях, что позволяет на первом вычислительном этапе мысленно опускать их, домножая затем результат на нужное количество десятков.
В четвертом случае происходит нарушение порядка выполнения действий — после умножения первого множителя на число единиц второго множителя, сразу переходим к умножению первого множителя на число сотен, поскольку число десятков второго множителя обозначено цифрой 0. Подразумевается, что умножение первого множителя на 0 десятков дает нулевой результат во втором неполном произведении. Поэтому для экономичности записи его опускают, подразумевая его «по умолчанию». В связи с этим при умножении первого множителя на число сотен второе (фактически — третье) неполное произведение записывают со сдвигом влево на два разряда, поскольку первая справа значащая цифра этого неполного произведения будет цифрой сотен, поэтому ее следует записать в разряд сотен.
Для того чтобы ребенок понял смысл всех этих многочисленных действий «по умолчанию», при знакомстве с этими трудными случаями следует сначала производить полные записи и выполнять все, предписанные алгоритмом действия, а не просто указывать ребенку, что куда следует «сдвигать». Затем, сравнивая два вида записи (полный и сокращенный) нужно помочь ребенку понять, какие элементы и этапы полного алгоритма и полной записи можно опустить, и что при этом произойдет с формой записи. В этом случае ребенок будет выполнять трансформации формы записи и порядка выполнения действий при письменном умножении осознанно, что способствует пониманию вычислительного приема и формированию осознанной вычислительной деятельности школьника.
Деление в столбик
Вычисления результатов деления многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма деления). Этот алгоритм построен на основе правил деления суммы на число, деления числа на произведение и приемов нахождения результатов деления с остатком.
|
|
|
Используемые математические законы и правила
Правило деления суммы на число:
(а + b + с): d = а: d + b: d + с :4
При делении суммы на число можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных или удобных слагаемых. Деление таким образом представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом деления суммы на число.
Например:
396:3 = (300+ 90+ 6): 3 = 300:3+ 90:3+ 6:3=100+ 30+ 2 = 132 365: 5 = (350 + 15): 5 = 350:5 + 15:5 = 70 + 3 = 73 Переводя данный способ деления в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) деления на однозначное число. Правило деления числа на произведение:
а: (b•с) ~(а:b):с
При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.
Например:
5 400: 600 = 5 400: (6 • 100) = 5 400: 100: 6 = 54: 6 = 9 600: 24 = 600: (6 • 4) = (600: 6): 4 = 100: 4 = 25
6-4
Использование данного правила позволяет устно выполнять деление, которое в общем случае требует письменных вычислений.
Деление с остатком является основным видом действий, последовательно выполняемым при письменном делении.
Свойства и способы деления с остатком см. с. 169—172.
Приемы вычислений
Письменное деление на однозначное число
Прием письменного деления включает такие операции: замену делимого суммой удобных слагаемых (это чаще называют выделением неполных делимых), деление на делитель каждого слагаемого (неполного делимого) и сложение полученных частных. Для получения цифр частного используют прием подбора. Не всегда получается сразу подобрать оптимальную цифру частного. Каждую подобранную цифру частного проверяют, умножая ее на делитель находят разницу между неполным делимым и полученным произведением. Если этот остаток меньше делимого, то цифра частного выбрана верно, ее можно записывать в частное и продолжать процесс со вторым неполным делимым и т. п.
Письменное деление может быть с остатком и без остатка.
Письменное деление всегда начинают с высших разрядов, в отличие от письменного умножения.
В традиционном учебнике математики использован поэтапный подход к формированию письменного алгоритма деления:
1-й этап: рассматриваются случаи вида 794: 2; 984: 4 — первое неполное делимое однозначное]
2-й этап: рассматриваются случаи вида 376: 4; 198: 6 — первое неполное делимое двузначное;
3-й этап: рассматриваются случаи с нулями в частном (на конце или в середине);
4-й этап: рассматривается деление чисел, оканчивающихся нулями.
Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса деления «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению подбора и проверки цифр частного, нахождения количества разделенных разрядных единиц, нахождения остатка.
Например:
Рассмотрим как выполнено деление с объяснением:
_748| 2
6 374
_14
14
_8
8
0
1. Делю сотни: 7 сот. делю на 2, можно взять по 3 сот. В частном будет 3 сот.
Проверяю, сколько сотен разделилось: 3 сот. -2 = 6 сот. Нахожу остаток от деления сотен: 7 сот. - 6 сот. = 1 сот.
2. Делю десятки: 1 сот. = 10 дес. и еще 4 дес. — это 14 дес. 14 дес. делю на 2 — можно взять по 7. Записываю в частном 7 в разряде десятков. 7 дес. • 2 = 14 дес. Нахожу остаток: 14 дес. - 14 дес. = 0. Десятки разделились все.
3. Делю единицы — единиц 8. 8 делю на 2, можно взять по 4. Проверяю: 4-2 = 8. Пишу в частном 4 в разряде единиц. Единицы разделились все: 8-8 = 0. Остатка нет. Деление закончено.
Ответ: 374.
При делении вида 45 6: 8 ход рассуждений аналогичен, только первое неполное делимое — 45 десятков, поскольку 4 сотни нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном сотни. Таким образом, первая значащая цифра частного в этом случае будет цифрой десятков.
При делении многозначных чисел для самопроверки полезно заранее определить, сколько цифр должно получиться в записи частного. Выделение первого неполного делимого и определение его десятичного состава как раз и является приемом, позволяющим определить количество цифр частного.
Например:
В случае деления 748: 2 первое неполное делимое — 7 сотен, поскольку 7 сотен можно разделить на 2 так, чтобы в частном получились сотни. Следовательно, первой значащей цифрой частного будет цифра сотен, тогда в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы).
Во втором случае деления 456: 8 первое неполное делимое — 45 десятков, следовательно первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет две цифры (десятки и единицы).
Обучение ребенка этому приему самопроверки является важным способом формирования осознаваемой вычислительной деятельности. Особенно важен этот прием при выполнении деления, приводящего к случаям получения нулей в частном.
Например:
(56)48¦ 8
сотни
Первое неполное делимое 56 сотен (поскольку 5 тысяч нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном тысячи), значит, первой цифрой частного будет цифра сотен. Следовательно, в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы). Данное рассуждение полезно отметить постановкой соответствующего количества точек в частном. Это предупредит распространенную в таких случаях ошибку — потерю цифры частного.
Далее деление выполняется по общему алгоритму:
_5648 8
56 706
- 0
-48
При объяснении получения нуля в частном следует в речевом сопровождении компенсировать условность сокращенной записи деления в столбик: 4 десятка нельзя разделить на 8 так, чтобы в частном получились целые десятки, поэтому в разряде десятков частного ставим 0. 4 десятка — это 40 единиц, да еще 8 единиц — делим 48 на 8...
При делении чисел, оканчивающихся нулями, следует постоянно применять прием «прикидки» цифр частного, это поможет ребенку не терять нули в конце деления.
Например:
(18)50|_5 -1850 5
15 370
Сотни -35
35
Прием «прикидки» цифр частного поможет ребенку при выполнении деления вида:
u eG1sTI9BTsMwEEX3SNzBGiQ2VeskNKGEOBWqxAYWQMsBnHhIIuxxiN3UvT3uCpZf8/T/m2objGYz Tm6wJCBdJcCQWqsG6gR8Hp6XG2DOS1JSW0IBZ3Swra+vKlkqe6IPnPe+Y7GEXCkF9N6PJeeu7dFI t7IjUrx92clIH+PUcTXJUyw3mmdJUnAjB4oLvRxx12P7vT8aAS9v74tzForFz33e7MK80eHVaSFu b8LTIzCPwf/BcNGP6lBHp8YeSTmmY14/ZBEVkOVrYBegSFNgjYC7PAFeV/z/B/UvAAAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAPYpI4TwAQAA6QMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9l Mm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAFjWIizfAAAACQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAASgQAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABWBQAAAAA= " strokecolor="black [3040]"/> (401)60|80 -40160 80
400 502
Сотни -16
0
-160
160
Деление на двузначное и трехзначное число
В основе устного деления на двузначное и трехзначное число лежит свойство деления числа на произведение:
а: (b• с) = (а:b):с
При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.
Например:
240: 30 = 240: (3 • 10) = (240:10): 3 = 24: 3 - 8 2700: 900 = 2700: (9 • 100) - 2700: 100: 9 = 27: 9 = 3 Однако в основе письменного деления на разрядные числа лежит не данный устный прием, а общий алгоритм деления на однозначное число.
Например:
(2290)0 300 -22900 300
десятки ** 2100 76(ост.100)
- 1800
Остаток)
При ознакомлении с делением на двузначное число сначала рассматривают случаи, когда в частном получается одна цифра.
Например:
492 82
- 492 6
Эту цифру частного находят приемом подбора с последующей проверкой.
При этом можно использовать два приема, облегчающих ребенку подбор цифры частного:
1) Прием ориентировки на таблицу умножения однозначных чисел.
В этом случае ориентируются на последнюю цифру делителя, подбирая такую цифру частного, чтобы при умножении на нее получался результат, совпадающий с последней цифрой делимого.
Например, при делении 492: 82 это может быть только 6, так как2-6 = 12.
Проверка этой цифры частного при умножении 82 • 6 дает делимое 492.
Приведем еще один пример: 384:96
В таблице умножения числа 6 только множитель 4 дает в результате умножения число, оканчивающееся на 4: 6 • 4 = 24. Проверка цифры 4 в качестве пробной цифры частного дает делимое: 96 • 4 = 384. Следовательно 384: 96 = 4.
Этот прием помогает быстро найти цифры частного, если речь идет о делении без остатка.
2) Прием замены делителя ближайшим разрядным числом.
В этом случае делитель заменяется на ближайшее разрядное число (в данном случае вместо 96 можно брать 90). В отношении разрядного числа легче найти пробную цифру частного. В данном случае деление 38 дес. на 9 дес. дает пробную цифру частного — 4. Затем ее проверяют, умножая на нее делитель. Цифра может подойти, а может и не подойти, поскольку ближайшее разрядное число берут не по правилу округления, а по принципу отбрасывания единиц. В этом случае проводится коррекция и уточненная цифра частного записывается в ответ.
Процесс деления многозначных чисел на двузначное и трехзначное технически очень сложный и трудоемкий. В старших классах на уроках физики и химии, где бывают нужны многозначные вычисления детям рекомендуют пользоваться калькуляторами.
Эти же приемы облегчения поиска пробной цифры частного можно использовать при делении на трехзначное число.
Например:
738:246
Заменим число 246 ближайшим разрядным числом — это 200.
200 это 2 сот. Разделим 7 сот. на 2 сот. В частном можно пробовать
цифру 3. Проверим эту пробную цифру: умножим 246 на 3, получим
738. Значит 738: 246 = 3
Например:
1456 364
*
В частном будет одна цифра, поскольку 145 дес. нельзя разделять на 364 так, чтобы в частном получились десятки. В таблице умножения числа 4 только множители 4 и 9 дают в результате числа, оканчивающиеся числом 6. 3 сот., умноженные на 9, дадут 27 сот. — это число больше делимого. Проверим пробную цифру частного 4: 364 -4= 1 456. Значит 1 456: 364 - 4.
Прием замены делителя на ближайшее разрядное число часто приводит к тому, что первая подобранная таким путем цифра частного не подходит и ее нужно изменять. Это происходит потому, что замена происходит не по правилам округления, а простым отбрасыванием единиц делителя.
Например:
282 47
*
Заменим 47 на ближайшее разрядное число — это 40, т. е. 40 — это 4 дес. Разделим 28 дес. на 4 дес, получим 7 — это пробная цифра частного.
Проверяем, подходит ли цифра 7:47-7 = 329 — это больше, чем 282, значит, в частном должно быть меньше, чем 7.
Проверяем, подходит ли цифра 6: 47 • 6 = 282. Значит, 282:47 = 6.
Использование первого из обозначенных приемов в сочетании с приемом замены делителя на ближайшее разрядное число позволит уменьшить затраты сил и времени на поиски пробных цифр частного.
Использование общего приема округления делителя также позволит быстрее и точнее искать пробную цифру частного. В частности, в данном случае по правилам округления следовало округлять 47 до 50, а значит первая пробная цифра частного — это 6: 50 • 6 = 300 > 282, но округление произведено с увеличением, а результат близок к делимому, значит можно пробовать 6 в качестве цифры частного.
Наиболее трудоемки случаи, требующие нескольких прикидок по цифрам частного. Особо рассматривается случай, когда при первой пробе получается число 10.
Например:
*
В частном одна цифра. Прием округления, как и прием замены делителя на ближайшее разрядное число, дает в качестве делителя число 100. Первая пробная цифра частного в этом случае получается 10. Но число 10 содержит две цифры, поэтому оно не подходит.
Пробуем в качестве цифры частного 9. Проверяем: 127 -9 = 1143 > > 1016, значит, цифра 9 не подходит.
Пробуем 8:127 • 8 - 1016. Значит 1016: 127 - 8. При делении на двух- и трехзначное число в случаях, когда в частном получается не одна цифра, проще ориентироваться при подборе пробной цифры частного на первые цифры делимого и делителя. Например: ^
-8184341
682 24
-1364
Первое неполное делимое — 818 десятков, значит, в частном будет две цифры — десятки и единицы.
Первая цифра делимого 8, первая цифра делителя 3, делим 8:3, можно взять по 2. Проверяем первую пробную цифру частного 341 • 2 = 682. Находим остаток 818 - 682 = 136 < 341, значит, цифра 2 подходит.
Второе неполное делимое 1364, первая цифра 1, но она на 3 не разделится. Значит, делим 13 на 3. Можно взять по 4. Проверяем вторую пробную цифру частного 341 • 4 - 1364. Значит, 4 подходит. Деление закончено.
Ответ 24.
Пробная цифра частного проверяется устно, и в этом основная трудность деления на двузначное и трехзначное число. Если ребенок не владеет приемами, облегчающими поиск и первичную проверку пробных цифр частного, то он каждый раз умножает на пробную цифру частного весь делитель, что является сложным и трудоемким процессом, который невозможно выполнить без применения письменных алгоритмов умножения.
Письменные алгоритмы умножения и деления на двузначное и трехзначное число дети изучают в конце 4 класса, поэтому учитель не всегда успевает уделить им достаточно много времени. Большие затраты времени при непродуктивном поиске пробных цифр частного приводят к тому, что на одном уроке дети успевают решить 2—3 примера. Большее количество примеров может быстро привести к утомлению детей и соответственно большому количеству ошибок при вычислениях. Использование продуктивных вычислительных приемов при выполнении письменных вычислений поможет ребенку в овладении осознанной вычислительной деятельностью.
Лекция 14
|
|
|
