 |
Лекция 8 Математические зависимости для оценки надежности технических систем
|
|
|
|
Литература
Лекция 8 Математические зависимости для оценки надежности технических систем
8. 1. Функциональные зависимости надежности
Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть вызваны неблагоприятным сочетанием различных факторов — рассеянием действующих нагрузок, отклонением от номинального значения механических характеристик материалов, неблагоприятным сочетанием допусков в местах сопряжения и т. п. Поэтому в расчетах надежности технических систем различные параметры рассматривают как случайные величины, которые могут принимать то или иное значение, неизвестное заранее.
Различают случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типов. Условимся случайные величины в дальнейшем обозначать большими буквами, а их возможные значения — соответствующими малыми. Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х< х) того, что Х не превышает значения х. Вероятность этого события называют функцией распределения :
F(х) = Р(Х< х). (8. 1)
Функция распределения — универсальная характеристика, так как она является функцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция (х) относится к неубывающим функциям — х монотонно возрастает при непрерывных процессах и ступенчато возрастает при дискретных процессах. В пределах изменения случайной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1:
F(-∞ ) = 0; F(∞ ) = 1
Производную от функции распределения по текущей переменной называют плотностью распределения f x = dF (x) / d x, (8. 2)
|
|
|
которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности. Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента ƒ (x) ≥ 0.
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
∞
∫ f (x)dx = 1.
− ∞
В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее употребительными являются математическое ожидание (среднее значение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (характеризуют рассеяние случайной величины). Значения n, g характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.
Для дискретных случайных величин математическое ожидание Mx равно сумме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:
Mx =. (8. 3)
Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения
Mx = . (8. 4)
Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с ее средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины х приближается к математическому ожиданию и называется оценкой среднего значения :
|
|
|
-
х = (1 / n 
,
(8. 5) где n - общее число опытов; xi - текущее значение случайной величины.
Дисперсией (D) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия равна:
|
|
|
