Примеры решения задач. Решение. В германии концентрация атомов равна 4,4×1028 м-3, концентрацию примесных атом найдем из пропорции

Примеры решения задач

 

Задача 1. Определите положение уровня Ферми в германии n- типа при температуре 300К, если на 1× 10⁶ атомов германия приходится 1 атом примеси. Обоснуйте сделанные при этом допущения.

Решение

В германии концентрация атомов равна 4, 4× 10²⁸ м^-3, концентрацию примесных атом найдем из пропорции

При температуре 300К все примесные атомы ионизованы и концентрация основных носителей заряда равна концентрации доноров

С другой стороны, концентрация основных носителей в примесном полупроводнике донорного типа определяется соотношением

где

Здесь G – константа, связывающая число электронов в единице объема в зоне проводимости с температурой и энергией уровней.

Из выше приведенного выражения находим

.

Отсюда получаем (N_c = 25× 10²⁴ м^-3)

Это означает, что уровень Ферми находится на 0, 165 эВ ниже дна зоны проводимости.

 

 

Задача 2. В кремниевом образце дырочная и электронная области pn – перехода имеют удельное сопротивление 0, 013 и 44, 5 Ом× см соответственно. Определите, чему равен потенциальный барьер на переходе при комнатной температуре. В кремнии подвижности дырок и электронов равны m_p = 480 и m_n = 1400 см²/ В× с, а концентрация собственных носителей составляет 1, 6× 10¹⁰ см^-3.

 

Решение

1. Удельные проводимости материалов p- и n–типа определяются следующими выражениями:

    Удельные сопротивления равны

 .

Откуда находим концентрации акцепторов и доноров

 ;

2. Находим высоту потенциального барьера

Задача 3. Удельная проводимость кремниевого образца при нагревании от температуры  до температуры  увеличилась в 4, 24 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

 

Решение.

Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где – постоянная, характерная для данного полупроводника; – ширина запрещенной зоны.

Тогда

или, прологарифмировав,

,

откуда искомая ширина запрещенной зоны

.

Вычисляя, получаем .

 

 

Задача 4. Вычислить максимальную энергию  (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.

Решение.

Максимальная энергия , которую могут иметь электроны в металле при К, связана с концентрацией свободных электронов соотношением

, (1)

где – постоянная Планка; – масса электрона.

Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле

, (2)

где – плотность меди; – постоянная Авогадро; – молярная масса.

Подставляя выражение  в формулу (1), получаем

.

Произведем вычисления:

 

 

 

Тема 8: «Закон радиоактивного распада. Ядерные реакции. Фундаментальные взаимодействия. Элементарные частицы»

Краткая теория

Атомное ядро состоит из элементарных частиц — протонов и нейтронов. Протонно-нейтронная модель ядра была предложена российским физиком Д. Д. Иваненко (1904-1994), а впоследствии развита В. Гейзенбергом).

Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона, и массу m_р = 1, 6726× 10^-27 кг »1836 m_е, где m_е - масса электрона. Нейтрон (n) – электронейтральная частица с массой m_n = 1, 6749× 10^-27 кг »1839 m_е. Протоны и нейтроны называются нуклонами (от лат. nucleus - ядро). Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А.

Атомное ядро характеризуется зарядом Ze, где Z - зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Д. И. Менделеева. Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , где X - символ химического элемента, Z - зарядовое число (число протонов в ядре), А - массовое число (число нуклонов в ядре).

Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов в атоме. От числа же электронов зависит их распределение по состояниям в атоме, от которого, в свою очередь, зависят химические свойства атома. Следовательно, заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, то есть, определяет число электронов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек, величину и характер внутриатомного электрического поля. Ядра с одинаковыми Z, но разными А (то есть, с разными числами нейтронов N = А - Z) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z - изобарами.

В первом приближении ядро можно считать шаром, причем радиус ядра задается эмпирической формулой:

,                                          (8. 1)

Радиус ядра имеет условный смысл, так как границы ядра размыты. Из формулы (1) следует, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре. Следовательно, плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер (r»10¹⁷ кг/м³).

Масса ядраизмеряется в атомных единицах массы (а. е. м). За одну атомную единицу массы принимается 1/12 часть массы нейтрального атома углерода ¹²С:

1а. е. м = 1. 6606 10^-27 кг.                                                   (8. 2)

А. е. м. выражается через энергетические единицы:

1а. е. м = 1. 510^-3 эрг = 1. 510^-10Дж = 931. 49 МэВ            (8. 3)

Исследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми образованиями. Это означает, что в ядре между нуклонами существует определенная связь.

Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами. Экспериментально установлено, что ядерные силы намного превышают гравитационные, электрические и магнитные взаимодействия и не сводятся к ним. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.

Основные свойства ядерных сил:

1) ядерные силы являются силами притяжения;

2) ядерные силы являются короткодействующими — их действие проявляется только на расстоянии примерно 10~15 м. При увеличении расстояния между нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля, а при расстояниях, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше кулоновских сил, действующих между протонами на том же расстоянии;

3) ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы, действующие между двумя протонами, или двумя нейтронами, или, наконец, между протоном и нейтроном, одинаковы по величине. Отсюда следует, что ядерные силы имеют неэлектрическую природу;

4) ядерным силам свойственно насыщение, т. е., каждый нуклон в ядре взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов.

5) ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов.

6) ядерные силы не являются центральными.

Экспериментально установлено, что масса ядра всегда меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Но так как всякому изменению массы соответствует изменение энергии (Е = mc²), то, следовательно, при образовании ядра должна выделяться определенная энергия. Из закона сохранения энергии вытекает и обратное: для разделения ядра на составные части необходимо затратить такое же количество энергии, которое выделяется при его образовании. Энергия, которую нужно затратить, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра.

Энергия связи нуклонов в ядре равна:

Е_св = [Zm_p + (A - Z)m_n - m_я)]c²,                   (8. 4)

где m_p, m_n, m_я – массы протона, нейтрона и ядра, соответственно.

Энергия связи ядра, выраженная через массу атома m, имеет вид:

Е_св = [Zm_H + (A - Z)m_n -m]c²,                                          (8. 5)

где m_H - масса атома водорода.

    Удельная энергия связи ядра (A, Z) - это энергия связи, приходящаяся на один нуклон:

(A, Z) = E_св(A, Z) / A.                                              (8. 6)

    На рис. 8. 1 показана зависимость удельной энергии связи ядра  от числа нуклонов A. Видно, что наиболее сильно связаны ядра в районе железа и никеля (A ~55 - 60). Такой ход зависимости (A) показывает, что для легких ядер энергетически выгодны реакции синтеза более тяжелых ядер, а для тяжелых - деление на более легкие осколки.

Рис. 8. 1. Зависимость удельной энергии связи ядра от числа нуклонов.

         Избыток масс (дефект масс)Dm – величина, на которую уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра:

Dm = [Zm_p + (A - Z)m_n] - m_я.                                  (8. 7)

 

Способность ядер самопроизвольно распадаться, испуская частицы, называется радиоактивностью. Радиоактивный распад - статистический процесс. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность наблюдается только в среднем, в случае распада достаточно большого количества ядер.

Радиоактивность подразделяется на естественную (наблюдается у неустойчивых изотопов, существующих в природе) и искусственную (наблюдается у изотопов, полученных посредством ядерных реакций). Принципиального различия между этими двумя типами радиоактивности нет, так как законы радиоактивного превращения в обоих случаях одинаковы.

Радиоактивное излучение бывает трех типов: a-, b- и g-излучение.

а-Излучение представляет собой поток ядер гелия; заряд a-частицы равен +2е, а масса совпадает с массой ядра изотопа гелия . а-Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью.

b-Излучение представляет собой поток быстрых электронов. b-Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями; его ионизирующая способность значительно меньше (примерно на два порядка), а проникающая способность гораздо больше, чем у а-частиц.

g-Излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с длиной волны l < 10^-10 м и вследствие этого - ярко выраженными корпускулярными свойствами, т. е., является потоком частиц g-квантов (фотонов). Это излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью, испытывает дифракцию при прохождении через кристаллы.

Радиоактивный распад - это естественное радиоактивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, возникающее ядро - дочерним. Радиоактивный распад является спонтанным процессом, подчиняющимся статистическим законам.

Постоянная распада λ – это вероятность распада ядра в единицу времени.

Если в образце в момент времени t имеется N радиоактивных ядер, то количество ядер dN, распавшихся за время dt пропорционально N:

dN = -λ Ndt.                                                       (8. 8)

Проинтегрировав это выражение, получим закон радиоактивного распада:

N(t) = N₀e^-lt,                                                          (8. 9)

где N₀ - количество радиоактивных ядер в момент времени t₀ = 0.

    Cреднее время жизни τ:

.

(8. 10)

       Период полураспада T_1/2 – это время, за которое первоначальное количество радиоактивных ядер уменьшится в два раза:

T_1/2 = ln2/l = 0. 693/l = tln2.                             (8. 11)

    Активность A нуклида – это среднее количество ядер, распадающихся в единицу времени:

A(t) =lN(t).                                                   (8. 12)

Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк):

1 Ки = 3. 7·10¹⁰ распадов/c, 1 Бк = 1 распад/c.

Ядерные реакции - это превращения атомных ядер при взаимодействии с элементарными частицами (в том числе и с g-квантами) или друг с другом. В общем виде ядерную реакцию можно записать в форме

a₁ + a₂ b₁ + b₂ +...,                                                   (8. 13)

где a₁ и a₂ - частицы, вступающие в реакцию, а b₁, b₂... - частицы, образующиеся в результате реакции.

    Наиболее распространенным видом реакции является реакция с двумя частицами в конечном состоянии

а + A b + B,                                              (8. 14)

или в сокращенной записи

A(a, b)B.

В такой записи обычно a - налетающая (обычно легкая) частица (ядро), A - ядро мишени, b- регистрируемая частица, B - конечное ядро.

В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения зарядовых и массовых чисел: сумма зарядовых чисел (и сумма массовых чисел) ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, равна сумме зарядовых чисел (и сумме массовых чисел) конечных продуктов (ядер и частиц) реакции. Выполняются также законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Ядерные реакции могут быть как экзотермическими (с выделением энергии), так и эндотермическими (с поглощением энергии).

Энергия реакции - это скалярная физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой ядерных превращений и равная разности энергий покоя ядер и частиц до и после реакции:

W = (W₀₁ + W₀₂) – (W₀₃ +W₀₄)                                          (8. 15)

При W > 0 реакции идут с выделением энергии (кинетическая энергия продуктов реакции превышает кинетическую энергию частиц и ядер до реакции. W < 0 реакции идут с поглощением энергии. Во втором случае первоначальная кинетическая энергия исходных продуктов должна превышать величину |Q|, которая называется порогом реакции.

Возможны два принципиально различных способа освобождения ядерной энергии.

1. Деление тяжелых ядер. В отличие от радиоактивного распада ядер, сопровождающегося испусканием α - или β -частиц, реакции деления – это процесс, при котором тяжелое ядро под действием нейтронов или других частиц делится на два крупных фрагмента сравнимых масс.

Деление ядер сопровождается испусканием вторичных нейтронов (нейтронов деления), которые могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления – ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения (k) нейтронов, который численно равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении.

Необходимым условием для осуществления цепной реакции является требование: k³ 1. При k > 1 идет развивающаяся реакция, число делений непрерывно растет и реакция может стать взрывной. При k = 1 осуществляется самоподдерживающаяся реакция, при которой число нейтронов не меняется с течением времени. При k < 1 идет затухающая реакция.

2. Термоядерные реакции. Второй путь освобождения ядерной энергии связан с реакциями синтеза. При слиянии легких ядер и образовании нового ядра должно выделяться большое количество энергии. Вплоть до ядер с массовым числом около 60 удельная энергия связи нуклонов растет с увеличением A. Поэтому синтез любого ядра с A < 60 из более легких ядер должен сопровождаться выделением энергии. Общая масса продуктов реакции синтеза будет в этом случае меньше массы первоначальных частиц.

Реакции слияния легких ядер носят название термоядерных реакций, так как они могут протекать только при очень высоких температурах. Чтобы два ядра вступили в реакцию синтеза, они должны сблизится на расстояние действия ядерных сил порядка 2·10^–15 м, преодолев электрическое отталкивание их положительных зарядов. Для этого средняя кинетическая энергия теплового движения молекул должна превосходить потенциальную энергию кулоновского взаимодействия. Расчет необходимой для этого температуры T приводит к величине порядка 10⁸–10⁹ К. Это чрезвычайно высокая температура. При такой температуре вещество находится в полностью ионизированном состоянии, которое называется плазмой.

Элементарные частицы объединяются в три группы: фотоны, лептоны и адроны.

    Группа фотонов состоит из одной частицы - фотона - кванта электромагнитноговзаимодействия.

    Группа лептонов состоит из электрона, мюона, электронного и мюонного нейтрино, тяжелого лептона - τ -лептона (таона), таонного нейтрино, а также соответствующих им античастиц. Они участвуют только в электромагнитном и слабомвзаимодействиях.

    К группе адронов относятся мезоны (пионы и каоны) и барионы (нуклоны (протон, нейтрон) и нестабильные частицы). При распаде бариона, наряду с другими частицами, всегда образуется новый барион - закон сохранения барионного заряда. Адроны обладают сильным взаимодействием, наряду с электромагнитным и слабым.

    Адроны состоят из кварков. Каждый мезон M строится из одного кварка q и одного антикварка  , каждый барион B - из трех кварков q : M = q , B = qqq/

    Число лептонов равно числу типов кварков -принцип кварк-лептонной симметрии.

    Имеются кварки шести типов, которые подобно лептонам образуют три дублета, или три поколения (u, d), (c, s), (t, b):

1) верхний (up) — u

2) нижний (down) — d

3) " очарованный" (charm) — c

4) " странный" (strange) — s

5) " истинный" (true) — t

6) " прелестный" (beauty) —b.

У кварков имеются античастицы - антикварки.

Для определения полной энергии и импульса релятивистской частицы используются формулы:

                 (8. 16)

При рассмотрении столкновения частиц полезно использовать инвариантную величину:

Е² –р²с² =m_o²c⁴,                                      (8. 17)

где Е и р – энергия и импульс системы до взаимодействия, m_o – масса покоя образовавшейся частицы.

Пороговая (минимальная) кинетическая энергия частицы m, налетающей на покоящуюся частицу М, для возбуждения эндоэнергетической реакции m+M ® m₁+m₂+…:

                        (8. 18)

где m, M, m₁, m₂, … – массы покоя соответствующих частиц.

Квантовые числа, приписываемые элементарным частицам:

Q – электрический заряд;

L – лептонный заряд;

В – барионный заряд;

Т – изотопический спин, T_z – его проекция;

S – странность; S = 2< Q> - В;

Y - гиперзаряд, Y = S + B.

    Связь между квантовыми числами сильно взаимодействующих частиц:

                              (8. 19)

При взаимодействии частиц выполняются законы сохранения Q, L и В зарядов. В сильных взаимодействиях выполняются также законы сохранения S (или Y), T и его проекции T_z.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: