 |
Поясним табл. 1.5. В первом такте умножения рассматривается первая пара разрядов множителя bnbn+1 = b3b4 = 10, во втором такте – вторая пара – b2b3 = 11, в третьем такте – пара b1b2 = 01, в четвертом такте – пара b0b1 = 10. Следует также обратить внимание
|
|
|
|
Поясним табл. 1. 5. В первом такте умножения рассматривается первая пара разрядов множителя bnbn+1 = b3b4 = 10, во втором такте – вторая пара – b2b3 = 11, в третьем такте – пара b1b2 = 01, в четвертом такте – пара b0b1 = 10. Следует также обратить внимание, что при сдвиге суммы частных произведений вправо цифра в разряде знака не изменяется (так называемый, арифметический сдвиг). В последнем такте после суммирования сдвиг вправо не выполняется (вес разряда b0 = 20).
Как видно из табл. 1. 5, произведение отрицательное, получилось сразу в дополнительном коде и равно значению, которое было вычислено для контроля перед началом умножения по рассматриваемому алгоритму.
Таблица 1. 5
| bi, bi+-1 | Сi, Si | Пояснения |
| 0. 000000 +1. 001 1. 001000 1. 100100 1. 110010 | C0=0 C1=[-А]д C0+C1 (C0+C1)*2-1= S1 C2=0 S1*2-1= S2 | |
| + 0. 111 10. 101010 0. 010101 1. 001 1. 011101 | C3= [А]пр C3+S2 (C3+S2)*2-1= S3 C4= [-A]д [C]д=C4+S3 |
1. 9. Деление двоичных чисел
Рассматриваем операцию деления двоичных чисел, представленных в форме с фиксированной запятой. В общем случае это может быть деление мантисс. Определим постановку задачи:
C =A / B; |A| < 1; |B| < 1; A ≠ 0; B ≠ 0.
Используются два основных способа:
- деление чисел, представленных в прямых кодах;
- деление чисел, представленных в дополнительных кодах.
1. 9. 1. Операция деления в прямых кодах
Отметим следующие основные особенности алгоритма:
1) К началу деления числа должны быть представлены в прямых кодах;
2) Операция деления выполняется над модулями;
|
|
|
3) Знак частного определяется логическим путем;
4) Операция сравнения модулей может выполняться с использованием любого из рассмотренных выше способов вычитания;
5) Алгоритм в основных чертах соответствует алгоритму деления вручную. Основное отличие состоит в том, что на каждом шаге деления вместо сдвига влево частичной разности (как это делается при ручном счете) сдвигается вправо делитель.
6) На каждом i-том шаге сравниваются по модулю частичная разность Ri и делитель |Bi|. При этом последовательно будут получаться цифры частного.
Если | Ri|< |B|, то C[i]=0; | Ri+1|=| Ri|.
Если | Ri|≥ |B|, то C[i]=1; | Ri+1|=| Ri|-|Bi|,
где Ci — цифра частного, полученная на i-том шаге.
Предлагаемый алгоритм рассмотрим подробно на числовом примере
А=-3/16 [А]п=1. 0011; |A|=. 0011
B=12/16 [В]п= 0. 1100; |B|=. 1100
Операцию сравнение будем выполнять в дополнительном модифицированном коде, для этого запишем [-|B|]дм = 11. 0100
Пример запишем в виде таблицы 1. 6.
Таблица 1. 6
| № такта | Сравнение | Ri|-|B|=| Ri|+[-| B|]д | Пояснения |
| Такт “0” | 00. 0011 +11. 0100 11. 0111 | R0=|A|; B0= [-B]д [-|B|]д |R0|< | B0|; С[0]=0; Деление возможно |
| Такт “1” | 00. 0011 +11. 1010 11. 1101 | R1=|А0| [-|B1|]д =[-|B0|]д*2-1 |R1|< | B1|; С[1]=0; |
| Такт “2” | 00. 0011 +11. 1101 00. 0000 | R2=|А0| [-|B2|]д =[-|B1|]д*2-1 |R2|=| B2|; С[2]=1; |
Как следует из этого пример, на очередном такте сравнения сдвигается вправо на 1 разряд делитель (умножается на 2-1). Цифры частного получаются, начиная со старшего разряда, и заносятся в регистр результата с помощью операции сдвига влево.
Поскольку после второго такта частичная разность R3=0, очевидно, что следующие цифры частного также будут нули.
Итак, |С|= 0. 0100 = 1/4.
Знак произведения — отрицательный, окончательный ответ: С = 1. 0100.
1. 9. 2. Операция деления в дополнительных кодах
Особенности алгоритма:
|
|
|
1) Делимое и делитель хранятся в памяти в дополнительных кодах
и в этом же виде принимаются в АЛУ;
2) Операция вычитание выполняется по алгоритму ДД в дополни-
тельном модифицированном коде;
3) Цифры знака частного получаются автоматически в процессе деления на нулевом и первом тактах сравнения;
4) Переполнение разрядной сетки определяется по несовпадению
цифр в знаковых разрядах.
5) Результат записывается в память без всяких преобразований.
6) Правила формирования очередной цифры частного и остатка более сложные, чем в рассмотренном выше алгоритме деления в прямых кодах. Кроме того, эти правила различны на нулевом шаге сравнения и на всех последующих шагах.
7) Вычисляем C=A / B.
Правила на нулевом такте сравнения:
если ЗНА = ЗНВ, то С0 =0 R1 = А – В,
если ЗНА ¹ ЗНВ, то С0 = 1 R1 = А + В.
Правила на всех последующих i – тых тактах сравнения
если ЗНRi = ЗНВ, то Сi = 1 R i+1 = R i • 2 - В
если ЗНRi ¹ ЗНВ, то Сi = 0 R i+1 = Ri • 2 + В
Рассмотрим пример деления чисел, представленных в дополни
тельном коде, в соответствии с приведенным алгоритмом.
Зададим исходные данные для наглядности в десятичном коде.
С= А / В А= 15 / 32 В= - 24 / 32 очевидно С = -5 / 8.
Представим эти числа в двоичном дополнительном коде, то есть
в том виде, в котором они хранятся в ОЗУ и вводятся в регистры АЛУ.
[РГА]пм: = [А]дм =00. 01111 [РГВ]пм: =[В]дм = 11. 01000
( Условная точка отделяет знаковые разряды. )
Так как в соответствии с алгоритмом делитель должен либо складываться с остатком, либо вычитаться из остатка, то заготовим прямой и дополнительный коды делителя.
Итак, в первом случае будем прибавлять [РГВ]мп = 11. 01000,
во втором - будем использовать [РГВ]мд = 00. 11000
Процесс вычислений представим в виде табл. 1. 7.
В нашем примере вычисления выполняются с точностью до 5-ти двоичных разрядов после запятой. В столбце Ci последовательно получаем цифры частного, начиная со старших разрядов в дополнительном модифицированном коде.
[C]мд =11. 01011
для проверки запишем результат в прямом коде
[C]п = 1. 10101
Переведем результат в десятичный код:
С = - 21/32 ~ -5/8
Как видно из таблицы, произведение отрицательное, получилось сразу в дополнительном коде и равно значению, которое было вычислено для контроля перед началом умножения по рассматриваемому алгоритму.
|
|
|
Таблица 1. 7
| Такт | Сравнение знаков | Вычисления | Пояснение | Сi |
| ЗНА ¹ ЗНВ | 00. 01111 +11. 01000 РГВ 11. 10111 | A R1 | С0 = 1 | |
| 3НR1 = 3НВ | 11. 01110 + 00. 11000 00. 00110 | R1 * 2 R2 | C1 = 1 | |
| 3НR2 ¹ 3HB | 00. 01100 + 11. 01000 11. 10100 | R2 * 2 R3 | C2 = 0 | |
| 3HR3 = 3HB | 11. 01000 + 00. 11000 00. 00000 | R3 * 2 R4 | C3 = 1 | |
| 3HR4 ¹ 3HB | 00. 00000 + 11. 01000 11. 01000 | R4 * 2 R5 | C4 = 0 | |
| 3HR5 = 3HB | 10. 10000 + 00. 11000 11. 01000 | R5 * 2 R6 | C5 = 1 | |
| 3HR6 = 3HB | 10. 10000 | R6 * 2 | C6 = 1 |
|
|
|
