 |
1.6.1. Двоично-десятичное сложение в коде 8-4-2-1
|
|
|
|
1. 6. 1. Двоично-десятичное сложение в коде 8-4-2-1
В табл. 1. 3 представлено соответствие десятичных цифр и их обозначений в двоично-десятичном коде 8-4-2-1.
Сформулируем правила сложения в коде 8-4-2-1 на основе анализа числовых примеров в пределах одной декады для десятичного и двоично-десятичного кодов.
Таблица 1. 3
| Десятич. цифра | двоич. -дес. код | |||
1) 3+5=8 0 0 1 1 как видим, результаты совпадают
+0 1 0 1
1 0 0 0
2) 8+9=17 1 0 0 0
+ 1 0 0 1
1 0 0 0 1 результат неправильный
+ 0 1 1 0 выполняем коррекцию
1 0 1 1 1 теперь результат верен
3) 6+8=14 0 1 1 0
+ 1 0 0 0
1 1 1 0 сумма не совпадает
+ 0 1 1 0 коррекция
1 0 1 0 0 результат совпал с десятичным примером.
Анализируя приведенные примеры, можно отметить следующие особенности.
В примере 1) двоичное сложение в пределах десятичной декады дает правильный результат, так как сумма меньше 9 ( меньше 1001 в двоично-дес. коде).
В примере 2) после двоичного сложения в декаде получается неправильный результат и возникает единица переноса в следующую декаду. Однако этот перенос является двоичным, а не десятичным, т. к. равен 16 единицам младшего разряда декады. Пример 3) также приводит к неправильному результату, так как получившаяся в декаде сумма чисел больше девяти. Для получения правильного результата в обоих примерах необходимо после двоичного сложения выполнить коррекцию. Для этого к полученной сумме добавляется число 6 ( 0110 ).
|
|
|
Сформулируем правила двоично-десятичного сложения:
- выполнить двоичное сложение внутри каждой декады с учетом возникающих между декадами переносов;
- переносы образуются из данной декады в следующих случаях:
если перенос возникает автоматически во время двоичного сложения, или если образовавшаеся сумма больше 9 (1001);
- к содержимому всех декад, из которых возникали переносы, прибавить для коррекции 6 ( 0110).
Выполним для примера по рассмотренным выше правилам сложение многоразрядных десятичных чисел в двоично-десятичном коде.
Выполним S = А + В сначала в десятичном коде
А = 6 5 3 8 0 4
+ В = 1 7 5 9 9 8
S = 8 2 9 8 0 2
Теперь вычислим этот пример в двоично- десятичном коде.
1 1 1 1 дв. -дес. переносы
А = 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
+В = 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 двоичная сумма
+ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 коррекция
S = 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 дв. -дес. сумма
Как следует из этих числовых примеров результат сложения в двоично-десятичном коде совпадает с суммой, полученной при использовании десятичного кода.
1. 6. 2. Двоично- десятичное вычитание в коде 8-4-2-1
Операцию вычитание в коде 8-4-2-1 можно реализовать, как и при двоичном вычитании, на основе прямого, обратного или дополнительного кодов.
В машинной арифметике, как известно, чаще всего применяется дополнительный код числа. Рассмотрим правила двоично-десятичного вычитания при использовании дополнительного кода на основе общих положений ( см. 1. 5. 2 ).
|
|
|
Прежде всего необходимо разработать методику нахождения дополнительного кода отрицательного числа, представленного в двоично- десятичном коде 8-4-2-1.
Вычислим S = А – В. Примем для простоты, что А > 0, В > 0, А > В.
Сначала выполним вычитание в десятичном коде, используя машинные алгоритмы ПП и ПД ( см. раздел 1. 5 ). В обоих алгоритмах числа в памяти хранятся в в прямых кодах, в действиях сложения и вычитания участвуют только модули чисел. Знак результата определяется логическим путем.
A =. 8 3 7 5 4
- B =. 2 5 4 9 6 (1. 9)
S =. 5 8 2 5 8
Заменим вычитание сложением в дополнительном коде. Будем искать псевдосумму С = [А]п + [-В]д
Сначала в соответствии с правилами определим дополнительный код
[-B]д = 1+ (- B ) = 1 – B = 1. 0 0 0 0 0
-. 2 5 4 9 6 (1. 10)
. 7 4 5 0 4
Продолжим [А]п =. 8 3 7 5 4 (1. 11)
+[-B]д = . 7 4 5 0 4
С = 1. 5 8 2 5 8
Анализируя численное значение псевдосуммы С в выражении (2. 1), видим, что слева от точки появилась цифра 1, которая представляет собой единицу переноса за пределы разрядной сетки и является признаком того, что результат положителен. Поэтому
С =. 5 8 2 5 8 = S
и совпадает с результатом, полученным выше при вычитании в прямых кодах (1. 9).
Для того, чтобы выполнить вычитание по алгоритму ПД, необходимо установить правила нахождения дополнительного кода для числа, представленного в двоично- десятичном коде. Причем в этих правилах не должно быть вычитания.
Запишем десятичное число В виде последовательности цифр, которые могут быть представлены в десятичном или двоично-десятичном кодах.
B = { b1 b2 b3 … bi … bn } (1. 12)
В таком же виде представим переменную, обозначающую дополнительный код того же числа.
|
|
|
[-B]д = { b1д b2д b3д … biд … bnд } (1. 13)
Анализ процедуры получения дополнительного кода десятичного числа (1. 10) показывает, что младшая цифра дополнительного кода получается вычитанием из десяти цифры младшего разряда исходного числа, а десятичные цифры всех остальных разрядов дополнительного кода получаются вычитанием из девяти соответствующих цифр прямого кода. Запишем выражение для вычисления цифры произвольного разряда дополнительного кода ( кроме i = n ) и преобразуем его, заменяя операцию вычитание сложением в дополнительном коде.
[-bi]д = 9- bi = 16 – 7 – bi = ( 16 – bi ) + [ - 7 ]д16 =
= [- bi ] o16 + ( 16 – 7 + 1 ) = [- bi ]o16 + 10 ( 1. 14 )
Используя выражение ( 2. 4 ), запишем аналогичное соотношение для
i = n [- bn ]д = [ - bn ]o16 + 11
Сформулируем правила получения дополнительного кода для двоично- десятичного числа:
- инвертировать все двоичные цифры ( получить обратный код );
- ко всем декадам ( кроме последней справа ) прибавить 1010 = 10102;
- к последней декаде прибавить 1110 = 10112;
- в процессе сложения переносы внутри декады учитываются;
- возникающие междекадные переносы игнорируются.
Найдем по этим правилам дополнительный код двоично-десятичного числа
( - В ) = -- 25496 из примера (1. 10).
В = 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
[В]о = 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
+ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1
[-B]д2-10 = 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
[-B]д10 = 7 4 5 0 4
Как видим, дополнительный код двоично-десятичного числа [-B]д2-10 равен дополнительному коду десятичного числа [-B]д10.
Вычислим теперь по правилам сложения в двоично-десятичном коде пример, выполненный в (1. 11).
1 1
[A]п2-10 = 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0
+ [-B]д2-10 = 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
= 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
+ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
С = 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
|
|
|
В крайнем слева разряде находится единица переноса за пределы разрядной сетки, что является признаком того, что результат положителен и представлен в прямом коде. Так как единица переноса отбрасывается, то окончательная разность выглядит следующим образом.
S2-10 = 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
S10 =. 5 8 2 5 8
|
|
|
