 |
1.7. Операции сложения и вычитания чисел в форме с плавающей запятой
|
|
|
|
1. 7. Операции сложения и вычитания чисел в форме с плавающей запятой
Формат числа с плавающей запятой рассматривался выше в разделе 1. 1.
В общих чертах алгоритм выполнения операций сложения и вычитаниясоответствует процедурам ручного счета.
Рассмотрим g = a ± b
a = A × 10a
b = B × 10b
g = S × 10c
A, B, S – нормализованные мантиссы: 1/10 £ A < 1,
10 – основание системы счисления;
a, b, c – порядки.
Выполним этот пример в десятичной системе счисления:
a = -0. 9572 × 10-4 a = -4 А=-0. 9572
b = 0. 1567 × 10-3 b = -3 В= 0. 1567
g = a + b
1) Находится разность порядков:
z = a – b = -4 + 3 = -1 так как z < 1, то a < b
2) Уравнивание порядков чисел происходит за счет того, что сдвигается вправо мантисса числа с меньшим порядком, т. е А = -0. 09572
3) Порядок результата приравнивается порядку большего числа с=в= -3
4) Выполняется сложение мантисс
А = - 0. 09572
+ В = 0. 15670
S = 0. 06098
5) Нормализация мантиссы, т. е. мантисса сдвигается влево на 1 разряд
S = 0. 60980
6) Коррекция порядка c= – 4
7) Окончательный результат
g = 0. 60980 × 10-4
В АЛУ для выполнения операций с плавающей запятой имеются практически две части:
- АЛУ для действий над порядками;
- АЛУ для действий над мантиссами.
Эти АЛУ имеют разную разрядность, различаются алгоритмами, но взаимосвязаны.
1. 7. 1. Алгоритм действий над порядками
1) Прием из ОЗУ порядков a и b;
2) Сравнение порядков r = a - b;
3) Выравнивание порядков чисел
если r ≥ 0 ( a ³ b ), то сдвиг B на |r | разрядов вправо, c = a;
иначе ( a < b ) сдвиг A на |r | разрядов влево, c = b.
Преобразование параллельного кода разности порядков в число-импульсный код ( количество сдвигов ) можно осуществить с помощью реверсивного счетчика.
|
|
|
4) при нормализации мантисс одновременно корректируется
порядок результата. Если выполняется сдвиг вправо, то с=с+1.
При сдвиге мантиссы влево на каждый сдвиг производится с=с-1.
Соответствующие сигналы поступают из АЛУ мантисс.
1. 7. 2. Алгоритм действий над мантиссами
1) Прием мантисс A и B из ОЗУ;
2) Выравнивание порядков за счет того, что мантисса меньшего числа сдвигается вправо на количество разрядов, равное | z |.
3) Находится S = A ± B;
4) Выполняется нормализация мантиссы результата. Если
| S| > 1, то сдвиг вправо S на один разряд, c=c + 1
иначе сч. сдв=0
М1: если | S| < 2-1, то сдвиг влево S на один разряд S: =S × 2-1
и коррекция порядка c=c – 1, иначе | S | ≥ 2-1 и переход к М2,
иначе если сч. сдв ≥ n, то S = 0 и переход к М2,
иначе переход к М1.
М2: выдача в ОЗУ мантиссы S и порядка с, конец.
1. 7. 3. Пример вычисления для двоичных чисел
Будем вычислять γ = α + β
α = –. 10001 · 10 010 β =. 11110 · 10 001
Примем, что действия над порядками выполняются по алгоритму
ПП, а над мантиссами – по алгоритму ПД ( см. раздел 3 ).
1) Выполняем операции над порядками чисел:
[a] п = 0. 010 [b] п = 0. 001 r = |a| – |b| = . 0 1 0
– . 0 0 1
. 0 0 1
Так как заем из старшего разряда z0 = 0, то r ≥ 0, а так как
ЗНr = 0, то |a| ≥ |b|, разность порядков r =. 001.
Следовательно, α > β, и порядок результата [c]п=[a]п = 0. 010.
Для выравнивания порядков нужно сдвигать вправо мантиссу
меньшего числа β.
2) Действия над мантиссами.
[A]п = 1. 10001 [В]п = 0. 11110
Сдвигаем вправо мантиссу В, получаем [В]п 2-1 = 0. 01111
В соответствии с используемым алгоритмом ПД находим DМ.
Так как D =0, ЗНA = 1, ЗНB = 0, то DМ =1. Следовательно,
должно быть выполнено вычитание модулей с использованием
|
|
|
дополнительного кода. Находим псевдосумму в виде
S* = [| A |]п + [-| B|]д = 1 0 0 0 1
+ 1 0 0 0 1
1. 0 0 0 1 0
Как видно, вышла за пределы разрядной сетки единица переноса
P0 = 1, это означает, что S* > 0 и |S| =. 0 0 0 1 0
Для нормализации выполняем сдвиг влево на три разряда
|S| =. 1 0 0 0 0, одновременно корректируется порядок
с = с – 0 1 1 = - 0 0 1
Определим знак мантиссы. Так как |А| > |В|, то ЗНS = ЗНА = 1.
Окончательный результат
γ =. 1 0 0 0 0 · 1 0-001
1. 8. Умножение двоичных чисел
Существуют две основных группы алгоритмов умножения:
1) умножение в прямых кодах
2) умножение в дополнительных кодах.
Умножение в прямых кодах целесообразно использовать, когда числа в памяти хранятся в прямых или обратных кодах. Вторая группа алгоритмов применяется, если числа в памяти хранятся в дополнительных кодах.
Рассмотрим операции двоичного умножения в прямых кодах для чисел с фиксированной запятой. Будем вычислять:
С=А*В; |A|< 1; |B|< 1; A≠ 0; B≠ 0.
|B| = b1*2-1+ b2*2-2+ b3*2-3+............... + bn*2-n
|C| = |A|*( b1*2-1+ b2*2-2+ b3*2-3+............... + bn*2-n)
Знаки, как правило, непосредственно в операции умножения не участвуют и знак произведения определяется логическим путем.
Если ЗНА = ЗНВ то ЗНС = 0, иначе ЗНС = 1
Для простоты изложения будем считать, что сомножители положительны и в дальнейших выкладках значок модуля не будет употребляться. В общем случае произведение может быть записано в виде суммы частных произведений. Как правило, принимается С0 = 0.
С= С0+С1+С2+............... +Сn
На каждом шаге умножения вычисляется очередная сумма частных произведений, которую обозначим Si. Так при умножении от старших разрядов множителя первая сумма частных произведений будет
S1=C0 + C1 и т. д.
При выполнении операции умножения всего возможны четыре алгоритма:
— умножение от младших разрядов множителя со сдвигом множимого влево;
— умножение от младших разрядов множителя со сдвигом суммы частных произведений вправо;
— умножение от старших разрядов множителя со сдвигом множимого вправо;
— умножение от старших разрядов множителя со сдвигом суммы частных произведений влево.
|
|
|
Реализация этих алгоритмов приводит к построению вариантов АЛУ, различающихся по аппаратурным затратам и быстродействию. Наиболее употребительными являются второй и третий алгоритмы.
|
|
|
