Эффективность обмена. Ящик Эджворта
Рассмотрим экономику, в которой имеется два участника, которые могут обмениваться двумя благами. Суммарное количество первого блага обозначим a, суммарное количество второго блага – b. Пусть первоначально первый участник имел набор благ Для ответа на этот вопрос Эджворт предложил свою модель – Ящик Эджворта.
Рисунок 1 Изобразим карту кривых безразличия для каждого из участников (см. рис. 1). Можно ли улучшить положение первого участника, не ухудшая при этом положение второго. В пределе мы получим точку A на кривой безразличия Рассмотрим контрактную кривую с точки зрения эффективности по Парето. На рис. 1., при переходе от точки M к точке A, первый участник улучшает своё положение, а положение второго остаётся неизменным; при переходе от точки M к точке B, положение второго участника улучшается, а положение первого остаётся неизменным. Таким образом, получается, что положение A предпочтительнее положения B, а положение B, в свою очередь, предпочтительнее положения M.
При переходе от A к B полезность одного из участников увеличивается, а полезность другого уменьшается. Такие решения называются Парето-несопоставимыми. Множество решений, которые являются Парето-предпочтительными по сравнению с решениями, не входящими в данное множество, называют множеством Парето-эффективных решений. Таким образом, контрактная кривая является множеством решений, эффективных по Парето. Пример. Вернёмся к вопросу об улучшении условий каждого участника при обмене. Рисунок 2 Очевидно, что первый участник согласится на обмен, при котором его кривая безразличия сдвинется вверх и вправо (Рис.2), а второй участник, согласится на обмен, при котором его кривая безразличия сдвинется вниз и влево. Таким образом, множество эффективных обменов будет лежать на контрактной кривой между точками Найдём условие, которым удовлетворяют элементы переговорного множества. Условие Парето-эффективности означает, что игроки решают одну из двух задач. Либо первый игрок максимизирует свою полезность, Какая именно из двух задач будет решаться, зависит от того, кто из игроков обладает большей властью или, другими словами, имеет преимущество в переговорной силе. Если такое преимущество имеет первый игрок, то будет решаться задача 1, если таким преимуществом обладает второй игрок, то решаться будет соответственно задача 2. Очевидно, что
Решим задачу 1, т.е. Имеем задачу нахождения условного экстремума для функции Найдём частные производные и приравняем их к нулю.
Отсюда получаем условие первого порядка (необходимое условие экстремума, касающиеся первых производных) Исключая параметр
В уравнении (3.7) предельные полезности продуктов обмена для первого игрока Предельная норма замещения продукта x продуктом y для первого игрока будет в этом случае равна:
Следовательно, все точки на контрактной кривой удовлетворяют уравнению (3.8). К уравнению (3.8) нужно добавить условия индивидуальной рациональности:
Решение задачи максимизации полезности вторым игроком (задача 2) будет аналогичным. Если оба продукта x и y являются нормальными товарами, то можно показать, что в некоторой точке переговорного множества будет выполняться и условие второго порядка. Следовательно, контрактная кривая описывается уравнением (3.8). Переговорное множество удовлетворяет уравнению (3.8) и системе неравенств (3.9). Пример. Два туземных племени живут охотой и рыболовством. Для того, чтобы природные ресурсы не истощались, правительство установило общие квоты на отлов рыбы и отстрел дичи: рыбы – не более 100 тонн в год; дичи – не более 400 тонн в год. Первоначально первое племя добывало 60 тонн рыбы и 20 тонн дичи, а второе племя добывало 40 тонн рыбы и 20 тонн дичи. Предположим, что каждое из племён имеет собственную функцию полезности: § § Вожди обоих племён собрались и решили заключить соглашение об охоте и рыболовстве, выполнение которого должно увеличить полезность каждого племени. Требуется найти множество контрактов, улучшающих положение каждого племени, т.е. необходимо найти контрактную кривую. Решение. Изобразим ящик Эджворта (см. рис.3.)
Рисунок 3
Найдём уравнение контрактной кривой, для чего обратимся к функции (3.8). Найдём предельные нормы замещения:
Уравнение (***) – уравнение контрактной кривой.
Для того, чтобы на контрактной кривой определить переговорное множество, нужно найти полезности каждого племени в точке угрозы: Найдём полезность каждого племени в точках на контрактной кривой:
Получаем условия индивидуальной рациональности.
Арбитражное решение Рассмотрим ящик Эджворта и построим в нём переговорное множество (см. рис. 4). Рисунок 4 Построим контрактную кривую Каждой точке Рисунок 5 На рис.5. в точке 0 Двигаясь из точки Дуга Любая точка на кривой
Д. Нэш доказал, что существует (при том единственное) решение задачи с торгом, удовлетворяющее следующим критериям: 1. Решение является эффективным (оптимальным) по Парето. 2. Полезность каждого участника при этом решении не меньше, чем в точке угрозы. 3. Решение не изменится, если сумма общего выигрыша будет преобразована по линейному закону 4. Решение не изменится, если перенумеровать участников игры (свойство симметрии). 5. Независимость от альтернатив, не имеющих отношения к делу. Это значит, что все возможные альтернативы, которые рациональные игроки не будут использовать, можно исключить из рассмотрения. Нэш доказал, что решением, которое удовлетворяет всем вышеперечисленным критериям, является решение, для которого функция
при условии, что В чём смысл каждого из пяти критериев решение Нэша? Первый. Рассмотрим игру с двумя участниками, полезности которых равны Рисунок 6
При переходе от A к B полезности обоих участников возрастают. Таким образом, B – Парето-эффективнее, чем A, и C – Парето-эффективнее, чем A. Сравнивая B и C, мы находим, что C – выгоднее, чем B для первого участника, но не выгодно для второго. Это обстоятельство говорит о том, что решения B и C являются несопоставимыми по Парето. Если альтернативными для участников являются решения A, B и C, то рациональные участники отбросят решение A как Парето-неэффективное и оставят B и C. Очевидно, что оптимальным решением будет либо решение C, либо решение B. Этот критерий означает, что игроки рассматривают только эффективные по Парето решения. Второй. Этот критерий соответствует условиям индивидуальной рациональности. Третий. Предположим, что общую сумму выигрышей двух участников увеличили вдвое. Очевидно, что вдвое увеличится полезность каждого из участников. Требуется ли при этом искать новые решения для этой комбинации? Если пользоваться решением Нэша, то этого делать не нужно. В частности, третий критерий означает, что переход от одной единицы измерения к другой не изменяет решения Нэша. Такие решения Нэша не изменятся, если каждой полезности добавить некоторую константу. Четвёртый. Решение, найденное для одной нумерации, не изменится при другой нумерации. Пятый. Если для случая, описанного на рис. 6, ввести четвёртую альтернативу D, то решение не изменится, потому что альтернатива D не будет рассматриваться отдельными игроками.
Решение Нэша называют также арбитражным решением. Это объясняется тем, что, если бы участники игры обратились к независимому арбитру для решения их торгового спора (т.е. для выбоора точки в переговорном множестве), то решение арбитра совпало бы с решением Нэша. Пример. Пусть вожди племён (см. выше рассмотренный пример) обратились к старейшине (арбитру) для решения их спора. Требуется найти решение, которое примет старейшина. Решение. Найдём на плоскости
где Рассматривая кривую, на которой
Максимизируя произведение (3.10), будем смещать гиперболу вверх и вправо до тех пор, пока она не окажется не границе допустимой области. В этом положении гипербола будет касаться кривой Уравнение (3.10) равносильно задаче об отыскании условного экстремума
Решим эту задачу с помощью функции Лагранжа:
Решая эту систему, находим решение (единственное). Очевидно, что найденное решение Множество решений 1. Для всех решений 2. Для всех двух решений На рис. 8. изображена область Парето-эффективных решений.
Рисунок 8 Все ли решения на кривой KM являются Парето-оптимальными? Т.к. Пример. Если два участника игры решают заключить контракт, т.е. решают предпринимать кооперативные действия, то их обмены будут располагаться на контрактной кривой. Пусть на контрактной кривой полезности участников связаны уравнением Решение. Найдём на плоскости Рисунок 9
Пусть при прежних условиях
На рис.10 изобразим множество Парето-эффективых решений.
т.е. кривая имеет отрицательный наклон и является вогнутой. Рисунок 10
Для случая, когда в обмене участвуют товары, на которые распространяется закон Госсена (убывание предельной нормы замещения), характерна выпуклая форма Парето-оптимального множества. Эта форма используется в большинстве задач. ПРАКТИКУМ
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|