 |
Игра против природы. Критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
|
|
|
|
Задания для практических занятий.
№44. Частный предприниматель должен сделать закупку товара (зонтов и солнцезащитных очков) на сумму 70 тыс. руб. Прибыль предпринимателя зависит от выбранной им стратегии и преобладающей погоды и задана платежной матрицей:
| Товар Погода | солнце | дождь |
| зонты | -1 | |
| солнцезащитные очки | -2 |
На какую сумму предприниматель закупит каждого товара?
Ответ: Предприниматель потратит по 35 тыс. руб. на зонты и солнцезащитные очки.
№45. Фермер распределяет посевную площадь 70 га между двумя культурами (засухоустойчивой и влагоустойчивой). Прогноз на лето не определен (лето может быть либо засушливым, либо дождливым). Прибыль фермера зависит от выбранной им стратегии и преобладающей погоды летом и задана платежной матрицей:
| Культура Лето | засушливое | дождливое |
| засухоустойчивая | -3 | |
| влагоустойчивая | -2 |
Найти распределение площади между культурами, оптимальное для фермера.
Ответ: Оптимальным для фермера будет занять 30 га посевной площади под засухоустойчивую культуру и 40 га – под влагоустойчивую.
Задания для самостоятельного решения.
№46. Предприятие может выпускать три вида продукции (A1, A2, A3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний (B1, B2, B3, B4). Дана матрица, элементы которой характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса.
| А В | B1 | B2 | B3 | B4 |
| A1 | ||||
| A2 | ||||
| A3 |
Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
|
|
|
№47. Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица для игры, заданной платежной матрицей: 
.
№48. Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица для игры, заданной платежной матрицей: 
.
Равновесие Нэша.
Задания для практических занятий.
№49. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
Ответ: 
и 
- чистые стратегии; 
- смешанные стратегии игрока А; - смешанные стратегии игрока В.
№50. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
Ответ: 
- смешанные стратегии игрока А; - смешанные стратегии игрока В.
№51. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
Ответ: 
- смешанные стратегии игрока А; - смешанные стратегии игрока В.
№52. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
Ответ: 
и 
- чистые стратегии; 
- смешанные стратегии игрока А; 
- смешанные стратегии игрока В.
№53. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
Ответ: и - чистые стратегии; 
- смешанные стратегии игрока А; 
- смешанные стратегии игрока В.
Задания для самостоятельного решения.
№54. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
№55. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
№56. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
№57. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
№58. Найти равновесие по Нэшу в чистых, или в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
№59. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: 
.
|
|
|
Кооперативные решения
№60. В некотором районе имеется три предприятия, каждое из которых нуждается в проводке теплоцентралей. Предприятия могут провести теплоцентрали отдельно друг от друга, а могут объединиться в группы – коалиции. Если предприятие i=1.2.3 прокладывает централь самостоятельно, то затраты составят 100, 200, 300 единиц соответственно. Если 1-е и 2- предприятие объединяться, то их общие затраты составят 250 единиц. Если 1-е и 3-е объединяться, то затраты составят 350 единиц. Если 2-е и 3-е объединятся, то затраты составят 460 единиц. Если все три предприятия объединяться, то затраты составят 580 единиц. Найти все решения, которые могут принять предприятия как рациональные субъекты.
Решени е.
Возможны следующие коалиции:
 – первое предприятие;
 – второе предприятие;
 – третье предприятие;
|  – первое и второе;
 – первое и третье;
 – второе и третье;
|  – первое, второе и третье
|
Обозначим 
– суммарные затраты на проводку теплоцентралей коалицией K. получим, что 
– затраты на проведение теплоцентралей i -м предприятием 
, если оно действует в одиночку.
Рассмотрим условия, при которых первому и второму предприятию выгодно объединиться в коалицию . Общие затраты 
=250 будут поделены между первым и вторым предприятиями (необязательно поровну). Обозначим 
– затраты первого предприятия, 
– затраты второго предприятия. Очевидно, что
(3.1)
Каждое предприятие сопоставляет свои затраты 
с теми затратами, которые оно понесло, если бы не вступило в коалицию. Для обоих предприятий условием вступления каждого из них в коалицию будет выполнение следующих неравенств:
(3.2)
Необходимым условием для этого служит неравенство:
(3.3)
Неравенство выполняется, т.к. 250<100+200.
Так же справедливы неравенства 350<100+300, 460<200+300, поэтому могут возникнуть все коалиции , и .
При каких условиях возможна коалиция, состоящая из всех трех предприятий?
Пусть 
– затраты каждого из предприятия в коалиции т.е.
(3.4)
Условием, при котором коалиции будет выгодно принять к себе 3-е предприятие, и при этом вхождение в коалицию будет выгодно 3-му предприятию, будет система неравенств
(3.5)
(3.6)
Из системы следует, что + 300≥ v( ). Это неравенство не выполняется, т.к. 250+300<580. Аналогично можно сравнить коалицию с двумя другими попарными коалициями. Следовательно, коалиция менее выгодна участникам, чем любые попарные коалиции.
|
|
|
Ответ. Оптимальными решениями будут коалиции, объединяющие различные пары предприятий.
|
|
|
