 |
Решение нелинейного уравнения методом простых итераций
|
|
|
|
1. Дано уравнение tg (0.36*x +0.4) =x2. Решить его методом простых итераций с точностью решения 
=0,001. Как в предыдущих методах для нахождения корня исследуем функцию
.
Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.14.
Рисунок 2.14 - График функции на выбранном отрезке
Приведем уравнение к виду x=x- af (x), где итерационная функция (x) =x- af (x), a - итерационный параметр.
Максимальное и минимальное значения производной достигаются на концах отрезка:
Применяем формулу x=x - af (x) =f (x):
2. Дано уравнение x3-0,2x2+0,4x-1,4=0. Решить его методом методом простых итераций с точностью решения =0,001.
Для нахождения корня исследуем функцию 
.
Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.15.
Рисунок 2.15 - График функции на выбранном отрезке.
Найдем корень с помощью встроенной функции root:
Приводим уравнение к виду x= f (x), где
Проверим условие сходимости:
Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка:
Применяем формулу x= (x):
Программа для решения нелинейных уравнений
На рисунках 2.16, 2.17 представлены программы для решения нелинейных уравнений методами хорд и касательных.
Пользователь вводит необходимые данные и при нажатии кнопки "Решить" выводится результат.
Листинги программ представлены в приложениях А, Б.
Рисунок 2.16 - Программа для решения методом касательных
Рисунок 2.17 - Программа для решения методом хорд
Решение нелинейных уравнений методом интерполирования
|
|
|
Интерполяция
Интерполяция является одним из способов аппроксимации функции. Смысл аппроксимации заключается в том, что производится замена одной функции другой в некотором смысле близкой.
Такая задача возникает по многим соображениям в частности, из-за удобства вычисления значений функции, вычисления производных и т.д.
Допустим, в n+1 точке заданы значения x0,x1,…xn и соответствующие им значения f (x0), f (x1), …, f (xn). Значения f (xi) вычисляются только в случае, если известна функция f (x), но эти значения могут быть получены, например, экспериментальным путем как значение некой неизвестной функции.
Точки xi, в которых известны значения функции, носят названия узлов интерполяции.
Интерполяция заключается в выборе функции φ (х), значения которой в узлах интерполяции совпадают со значениями f (xi).
φ (хi) = f (xi)
Между узлами значения этих функций могут отличаться (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 – Интерполяция
Мы рассмотрим простейший случай, когда в качестве интерполируемой функции используется полином степени n. Преимущества такой интерполяции очевидны. Значения полинома легко вычисляются, имеют непрерывную производную.
Многочлен Лагранжа
Пусть известны значения некоторой функции f в n+1 различных точках. Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке x. Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен Ln (x) степени n, который в точках xi принимает заданные значения, т.е.
Ln (xi) =fi, i=0,1,…,n
и называется интерполяционным.
В частности, мы рассматриваем построение интерполирующего многочлена Лагранжа.
,
где
fi - значения интерполируемой функции в i-том узле;
- коэффициент интерполяции Лагранжа
.
Можно сказать, что L1 (x) - линейная функция x, поэтому такую интерполяцию называют линейной (она производится для двух точек).
|
|
|
Интерполяционный многочлен Лагранжа обладает тем недостатком, что в случае, когда добавляются новые узлы интерполяции, все слагаемые необходимо пересчитывать. Но, с другой стороны, он обладает тем достоинством, что интервалы между узлами могут быть неравномерными.
Обратная интерполяция заключается в построении зависимости x (y) и, затем, с помощью такого многочлена легко можно найти корень нелинейного уравнения.
Многочлен Лагранжа в этом случае выглядит следующим образом:
,
где
xi - значения узлов;
- коэффициент интерполяции Лагранжа
.
Если задано достаточно много узлов на отрезке [a,b], то интерполирующие функции на отрезке [a,b] представляют собой непрерывную функцию, уже первая производная которой является кусочно-непрерывной.
В узлах, где происходит стыковка отдельных интерполяционных многочленов, производная рвется. Этого недостатка не имеет интерполяция сплайнами.
Интерполяция сплайнами
Пусть отрезок [a, b] разбит на n одинаковых частей точками x0, x1,…xn.
Примем
x0=а, xn=b, h= (b-a) /n, xi= a+ih.
Сплайном называется непрерывная на [a, b] и имеющая непрерывные производные функция, на каждом из частичных участков представляющая собой алгебраический многочлен. Порядком сплайна называется старший порядок многочлена, а дефектом сплайна называется разность между порядком сплайна и старшей непрерывной производной.
Например, линейная интерполяция - это сплайн первого порядка с дефектом 1.
Наиболее широкое распространение на практике имеет кубический сплайн. Если сплайн используется для интерполяции некоторой функции и ее производных, т.е. в узлах интерполяции значение сплайна и ее производных некоторых порядков совпадают со значениями функции и ее производных соответствующих порядков, то такой сплайн называется интерполяционным.
Если интерполяционный сплайн на заданном отрезке рассматривать как совокупность кубических сплайнов для каждой пары точек, такая интерполяция носит название локальной интерполяции.
Этот сплайн не прерывен вместе с первой производной, но непрерывность второй производной не гарантируется, т.е. дефект сплайна равен 2. Если этот сплайн имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a, b], т.е. имеет дефект 1, то такой сплайн носит название глобального.
|
|
|
Для построения кубического сплайна используется формула:
Для построения глобального сплайна, т.е. сплайна с дефектом 1 необходимо, начиная со 2-го узла, поставить условие непрерывности 2-й производной, т.е.2-я производная при подходе к точке 2 и дальше слева (x1-0) должна равняться второй производной при подходе справа (x1+0).
Такие равенства можно составить для всех внутренних узлов x1 до xn-1. Затем используем условия на краях x0 и xn, получаем систему уравнений, которая и обеспечит дефект 1.
Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих участках, построение таких равенств не представляет особого труда.
Приравнивая эти значения, для определения m получим СЛАУ.
В двух крайних точках:
Если функция задана в виде таблиц, то для вычисления производных используеться результаты, получаемые при численном диференцировании, порядок точности которых не ниже 3-ей степени.
|
|
|
