Теоремы А.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.
⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9 Теорема об асимптотической устойчивости предполагает некоторое усиление требований к производной в силу системы: если для системы уравнений существует знакоопределенная функция V (X), производная которойв силу системы (30.9) является также знакоопределенной, но противоположного знака, то решение Доказательством, не претендующим на математическую строгость, может служить рассуждение -> Доказательство. Без ограничения общности будем считать функцию V (X) положительно определенной. Выберем Положим теперь, что начальные условия таковы, что
При этом
что противоречит (28.8). Остается утверждение Примером асимптотической устойчивости может служить процесс в релейной следящей системе. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Если для системы уравнений (30.9) существует функция V (X), производная которой в силу системы является знакоопределенной и совпадает по знаку с V (X) в сколь угодно малой окрестности начала координат, то тривиальное решение системы (30.9) неустойчиво.
Для доказательства (на том же уровне, что и в предыдущей теореме) используем тот же геометрический образ из лекции 28. При совпадении знаков функции Ляпунова и ее производной в силу системы угол между вектором градиента и вектором фазовой скорости становится острым. В силу этого существует окрестность начала координат, в которой фазовая траектория с течением времени удаляется от начала. Поэтому не существует сколь угодно малого числа , такого что в соответствии с определением устойчивого решения.
3.Понятие о системах с перестраиваемыми параметрами. Скользящие режимы в нелинейных системах произвольного порядка. Начнем с анализа движения консервативной динамической системы второго порядка, описываемой дифференциальным уравнением вида При изучении метода фазового пространства (лекция 19) мы видели, что такому уравнению соответствует особая точка типа центр с эллиптическими фазовыми траекториями вокруг нее. Обратим внимание на ориентацию этих траекторий. Записывая (31.1), как обычно, в форме и исключая время, получаем уравнение фазовой траектории в виде откуда после интегрирования получаем
Рис.31.1.Преобразование фазового портрета консервативной системы в портрет, сходящийся к началу. Переключения в структурной схеме (точнее – скачкообразные изменения величины коэффициента k) выгоднее производить не по времени, а по признаку знака произведения компонент вектора состояния, что и обозначено на рис.31.1. Таким образом, без введения демпфирующих элементов консервативная система превратилась в систему с устойчивым состоянием равновесия.
Следуя этим путем, можно достичь и других эффектов сравнительно простыми средствами. Например, поставим цель осуществить в консервативной системе скользящий режим, рассмотренный нами ранее (см. лекцию 22). Для этого обратимся к результату интегрирования уравнений системы (31.2) и представим, что коэффициент k будет менять не только величину, но и знак. Тогда фазовая плоскость будет заполнена семействами эллиптических и гиперболических траекторий. На рис.31.2 показаны некоторые из этих траекторий, которые последовательно переходят друг в друга на прямой переключения Рис.31.2. Скользящий режим в консервативной системе. На этот раз переключение с эллиптической траектории на гиперболическую и обратно должно выполняться по признаку изменения знака величины Полезно представить себе структурную схему, которая реализует скользящий режим. Поскольку логика переключения строится на изменении знака величины z = y–mx,необходимо выделить в схеме все участвующие здесь координаты, что и выполнено на рис.31.3. Заметим, что указанное выделение составляющих вектора состояния в системах второго порядка астатизма осуществляется естественным путем. Например, в электрогидравлическом приводе эти составляющие реализуются в виде выхода устройства, управляющего производительностью насоса и выхода гидромотора соответственно.
Скользящий режим. Рассмотрим, наконец, условия существования скользящего режима в системе, описываемой дифференциальным уравнением произвольного порядка, которое запишем в виде
где u – сигнал управления и p - символ дифференцирования. Введем обозначения для компонент вектора состояния Подобно предыдущему примеру, для организации скользящего режима образуем линейную комбинацию
где без ограничения общности положим cn =1. Кроме того, функция управления
Скользящий режим должен протекать в плоскости y =0 или в соответствии с введенными обозначениями
Последнее соотношение можно рассматривать как дифференциальное уравнение скользящего режима. Можно показать (Емельянов С.В., Уткин В.И. Теория систем с переменной структурой, М.,Наука,1970), что скользящий режим реализуется при выполнении условий В многомерной системе возникает также вопрос об устойчивости скользящего режима. Достаточным условием устойчивости служит отрицательность вещественных частей корней уравнения
кроме одного корня с положительной вещественной частью.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|