 |
Типовые задачи с решениями
|
|
|
|
Задача 1
Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет:
а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. долл., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. долл. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 10% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. долл.?
Решение
а) По условию задачи имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов. Для оценки аннуитета воспользуемся формулами (2.1) и (2.2) при А = 4000; n =8; r =0,1; z =500.
Будущая стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут увеличиваться, составит 62923 долл.
Приведенную стоимость аннуитета можно найти и по формуле 
.
Приведенная стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут увеличиваться, составит 29354 долл.
Если суммы будут уменьшаться, то z = -500 и, следовательно, по формулам (2.1) и (2.2) получаем:
Будущая стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут уменьшаться, составит 62923 долл.
Приведенная стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут уменьшаться, составит 13325 долл.
б) Оценки аннуитета пренумерандо по формулам (2.3) и (2.4) при z = 500 получаем
FVpre =62923 × 1,1=69215
Будущая стоимость аннуитета пренумерандо при условии, что денежные суммы будут увеличиваться, составит 69215 долл.
PVpre =29354 × 1,1=32289
Приведенная стоимость аннуитета пренумерандо при условии, что денежные суммы будут увеличиваться, составит 32289 долл.
Если z = -500, тогда
|
|
|
FVpre =28654 × 1,1=31421
Будущая стоимость аннуитета пренумерандо при условии, что денежные суммы будут уменьшаться, составит 31421 долл.
PVpre =13325 × 1,1=14658
Приведенная стоимость аннуитета пренумерандо при условии, что денежные суммы будут уменьшаться, составит 14658 долл.
Задача 2
За 6 лет необходимо накопитъ 30 тыс. долл. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 800 долл. и процентная ставка равна 8 % годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2 тыс. долл.
Решение
Величину первого вклада найдем из формулы (2.1) при 
;
z =800; n = 6; r=0, 08:
30000 = (А+800/0,08)×FM3(8%,6) -(800×6)/0,08
Из полученного уравнения находим размер первого вклада:
А=2268
Размер первого вклада равен 2268 долл.
Если же известна величина первого вклада А=2000 долл. и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных поступлений, то формула (2.3) примет вид:
30000=(2000+z/0,08)× FM3(8%,6) -(z×6)/0,08
Из полученного уравнения находим
z = 918 долл.
Каждый год денежные поступления необходимо увеличивать на 918 долл.
Задача 3
По условиям контракта в течение 7 лет в конце года платежи поступают на депозитный счет в банке. Первый платеж равен 4 тыс. долл., а каждый последующий платеж увеличивается на 10% по отношению к предыдущему. Оцените этот контракт, если на депозитный счет в конце каждого года начисляются сложные проценты по ставке 8% годовых.
Решение
Поскольку ежегодно платежи увеличиваются в 1,1 раза (на 10%), то поступающие на счет платежи представляют собой переменный аннуитет постнумерандо с постоянным относительным изменением его членов. Поэтому для оценки контракта воспользуемся формулами (2.5) и (2.6) при А = 4000; п = 7; r = 0,0; х = 1,1:
|
|
|
Будущая стоимость контракта составит 46979 долл., приведенная стоимость контракта составит 27412 долл.
Если платежи аннуитета не образуют прогрессию, при решении задач также можно использовать финансовые таблицы. Для этого денежный поток необходимо представлять в виде суммы или разности стандартных аннуитетов.
Задача 4
Участок сдан в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые шесть лет — по 10 тыс. долл., в оставшиеся четыре года — по 11 тыс. долл. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15 %.
Решение.
Решать данную задачу можно различными способами в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком. Общая схема денежного потока представлена на рис. 2.1.
 |
Приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временного интервала. Рассмотрим два варианта решения из нескольких возможных. Все варианты основаны на свойстве аддитивности рассмотренных алгоритмов в отношении величины аннуитетного платежа.
1. Исходный поток можно представить себе как сумму двух аннуитетов: первый продолжается десять лет, платеж этого аннуитета равен 10 000; второй продолжается четыре года, его платеж равен 11 000. По формуле 
можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала седьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы 
к началу первого года. В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени,аих сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока:
= 10000∙FM4(15 %,10) + 1000∙FM4(15 %,4)∙FM2(15 %,6) =
= 10000∙5,019 + 11000∙2,855∙0,432 = 51420
2. Исходный поток можно представить себе как разность двух аннуитетов: первый продолжается десять лет, платеж аннуитета равен 11000; второй начинается в первом году, заканчивается в шестом, его платеж равен 1000. В этом случае расчет выглядит так:
= 11000∙FM4(15 %,10) – 1000∙FM4(15 %,6)=
= 11000.5,019 – 1000∙3,784 = 51402
Приведенная стоимость договора равна 51402 долл.
|
|
|
