 |
Задание к практическому занятию
|
|
|
|
Задача 1.
В течение 5 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 300 тыс. руб. Определите сумму, накопленную на счете к концу пятилетнего срока при использовании сложной процентной ставки 8% годовых, считая, что платежи поступают непрерывным образом.
Задача 2.
По условиям контракта на счет в банке в начале года в течение 6 лет поступают платежи. Первый платеж равен 50 тыс. руб., а каждый последующий по отношению к предыдущему увеличивается на 2%. Оцените этот контракт, если банк начисляет по вкладам сложные проценты из расчета 9 % годовых.
Задача 3.
За 5 лет необходимо накопитъ 2 млн. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 200 тыс. руб. и процентная ставка равна 8 % годовых? Денежные поступления осуществляются в начале каждого года.
Задача 4.
Согласно условиям финансового контракта на счет в банке в течение 5 лет будут поступать в начале года денежные суммы. первая из которых равна 60 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 3 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 12 % годовых и сложные проценты начисляются в начале года.
Задача 5.
За 5 лет необходимо накопить 4 млн. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 15% и процентная ставка равна 14% годовых? Денежные поступления и начисление процентов осуществляются в конце года
Бессрочный аннуитет
Аннуитет называется бессрочным (perpetuity), если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что 
. Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют и вечной рентой.
|
|
|
В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла.
Обратная задача (определение приведенной стоимости аннуитета) имеет решение. Формула для вычисления приведенной стоимости бессрочного аннуитета
(3.1)
где FM 4(r,∞) = 
.
Переходя к пределу при 
, для бессрочного аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями p раз за базовый период и начислением сложных процентов m раз за базовый период получим:
(3.2)
Для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета с денежными поступлениями p раз за период и непрерывным начислением процентов по ставке 
перейдем к пределу при 
в формуле (3.2). В результате получим:
(3.3)
Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо..
В частности, при p = 1, m = 1 из (3.3) следует:
(3.4)
т.е. получили очевидное финансовое утверждение: приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для постнумерандо на величину первого платежа.
Формулы нахождения приведенной стоимости для бессрочного переменного аннуитета:
(z >=0) (3.5)
(1+r>х) (3.6)
Типовые задачи с решениями
Задача 1
Определить текущую (приведенную) стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14 % годовых.
Решение
|
|
|
По формуле (3.1) находим:
= 30 тыс. руб.
Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей
30 тыс. руб., он представляет собой выгодную инвестицию.
Задача 2
Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 60 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 350 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 15 % годовых?
Решение.
Для ответа на вопрос необходимо найти истинную стоимость акции и сравнить ее с величиной 350 тыс. руб. Истинную стоимость акции находим из формулы (3.1) при А=60000; r=0,15:
PV = 
= 400000
Т.к. истинная стоимость акции составляет 400 000 руб., то акции можно приобретать по цене 350000 руб.
Задача 3
Фирма собирается учредить фонд для ежегодной выплаты пособий своим работникам. Выплаты будут производиться в конце года. Определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 80 тыс. долл., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 16 %; б) ежеквартально сложные проценты по ставке 16 %; в) непрерывные проценты с силой роста 16 %.
Решение
Денежный поток во всех случаях является бессрочным аннуитетом постнумерандо, причем A = 80 тыс. долл. Необходимо найти приведенную стоимость этого аннуитета.
а) по формуле (3.1) при r = 0,16, получим
= 500
Фирме необходимо поместить в банк на депозит 500 тыс. долл.
б) по формуле (3.2) при r = 0,16; m = 4; p = 1 получим:
= 470,98
Фирме необходимо поместить в банк на депозит 470,98 тыс. долл.
в) по формуле (3.3) при p = 1; 
= 0,16 получим:
= 461,07
Фирме необходимо поместить в банк на депозит 461,07 тыс. долл.
Задача 4
Компания за предыдущий год выплатила 2 тыс. руб. за акцию. Согласно прогнозам, дивиденды по акциям этой компании будут расти на 200 руб. ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целеосообразности покупки акций компании по цене 33 тыс. руб., если можно поместить деньги в банк на депозит под 12% годовых. Изменится ли ситуация, если дивиденды по акциям будут расти на 6% ежегодно в течение неопределенно долгого времени?
Решение
1) для ответа на вопрос необходимо найти приведенную стоимость бессрочного переменного аннуитета. По формуле (3.5) при А = 2000; z =200; r =0,12 получаем 
|
|
|
Так как истинная стоимость акции меньше 33000, то приобретать ее за 33000 руб. не имеет смысла.
2) для ответа на вопрос необходимо найти приведенную стоимость бессрочного переменного аннуитета. По формуле (3.6) при А = 2000;,q =1,06, r =0,12 получаем: 
Так как истинная стоимость акции больше 33000, то имеет смысл приобрести ее за 33000 руб.
|
|
|
