 |
Методические указания к заданию 3.3
|
|
|
|
Предположим, что дан интеграл:
.
1. Для девятого варианта b = 9, и значение интеграла, найденное по формуле Ньютона-Лейбница, составляет:
= 2499,75.
2. Определим графически приближённое значение этого же интеграла, подсчитав площадь криволинейной трапеции, образованной графиком подынтегральной функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми на краях интервала интегрирования.
Для построения графика заданной функции на ленте нужно выбрать вкладку График (Вставить график, График XY).
В результате этих действий на экране появится заготовка, на которой нужно описать функцию и аргумент. Для этого на графике предусмотрены места заполнения, положение которых не столь удачное по сравнению с предыдущими версиями программы. Видимо, место для указания вида функции следовало бы указать на вертикальной оси, а аргумента - на горизонтальной. Однако программа позволяет переместить легенды в указанные места графика.
Вид заготовки показан на следующем рисунке.
После простановки легенды и щелчка ниже заготовки появится график.
Из рисунка видно, что по умолчанию аргумент изменяется от -10 до +10. Для рассматриваемой задачи интерес представляет только первая четверть графика. Чтобы исключить лишнее изображение на графике нужно соответственно изменить диапазон вариации аргумента. Делается это с помощью оператора диапазона x, y.. z. Оператор возвращает последовательность чисел с шагом (y − x), начиная с x и заканчивая z.
В этом случае аргумент изменяется от 1 до b =10 с шагом 0,01.
Для нахождения интеграла графическим способом нужно нанести на график координатную сетку. К сожалению, в версии PTC Mathcad Express Prime 3.0 не стало этой удобной функции. Поэтому координатную сетку нанесём на график с помощью какого-либо графического редактора.
|
|
|
Площадь закрашенной фигуры, расположенной ниже графика подынтегральной функции, численно равна определённому интегралу от этой функции. Примерно оценим эту площадь визуально.
Площадь одной клетки на графике составляет 90 единиц. Число целых клеток, умещающихся на криволинейной трапеции, равно 18. Площадь фигуры, состоящей только из целых клеток, составляет 90*18 = 1620 единиц. Площадь частично вошедших в фигуру клеток приблизительно можно определить так:
(0,01+0,1+0,3+0,7+1+0,3+0,9+0,3+0,9+0,3+0,9+0,3+0,6+0,1+0,9+0,7+0,2)*90=
855,9 единиц.
Дробные числа показывают, какую долю от площади целой клетки составляет закрашенная часть клетки. Для получения приемлемой точности расчётов нужно интервал интегрирования разбить на число отрезков не менее 10.
Таким образом, общая площадь криволинейной трапеции, состоящей из целых и частично закрашенных клеток, составила примерно 2475,9 единиц.
Сравнивая полученный результат с точным значением интеграла (2499,75), видим, что приближенное значение имеет несколько меньшую величину. Это объясняется неточным визуальным определением площади криволинейной трапеции. Естественно, что процедура определения площади субъективна и при каком-то расчёте площади она может оказаться больше истинной.
Проделанные вычисления дают наглядную интерпретацию определённому интегралу, который можно представить себе, как площадь криволинейной трапеции, образованной графиком подынтегральной функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми на краях интервала интегрирования.
Наглядной иллюстрацией эффективного использования математического анализа является следующий обыденный пример. Предположим, что необходимо определить площадь дачного участка, который с трёх сторон огорожен заборами, а с четвертой стороны проходит извилистый овраг. Чтобы воспользоваться рассмотренной методикой вычисления определённого интеграла нужно математически описать (аппроксимировать) форму оврага, то есть определить подынтегральную функцию f(x).
|
|
|
|
|
|
