Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции. Определения и основные теоремы.

Расстановка ударений: БЕСКОНЕ`ЧНО БОЛЬША`Я ФУ`НКЦИЯ

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются

Напр.,

означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функций, т. к. если f(x) есть Б. б. ф., то функция ψ (х) = 1/f(x) является бесконечно малой.

Функция α (x) называется бесконечно малой при , если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при .

· Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

· Если , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

· Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);

· Если , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при .

· Теорема. Если — бесконечно большая последовательность и все ее элементы отличны от нуля (), то последовательность — бесконечно малая, и наоборот, если — бесконечно малая последовательность и все ее элементы отличны от нуля (), то последовательность = — бесконечно большая. Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть — бесконечно большая последовательность, т.е. для любого найдется номер элемента последовательности такой, что для всех выполняется соотношение . Требуется доказать, что последовательность — бесконечно малая.Зададим произвольное . Покажем, что существует такое, что для всех выполняется соотношение . Возьмем . По определению бесконечно большой последовательности, начиная с все элементы последовательности удовлетворяют соотношению . Следовательно, начиная с выполняется или . Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Теорема. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности. Доказательство. Пусть и — две бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательности также бесконечно малые. Зададим произвольное . По определению бесконечно малых последовательностей существуют и такие, что для всех : и для всех : . Возьмем , тогда для всех : . Что и требовалось доказать. Следствие. Сумма или разность любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть и — две бесконечно малые последовательности. Покажем, что также бесконечно малая. Зададим произвольное . Так как — бесконечно малая, то существует такое, что для всех : . Так как — бесконечно малая, то существует такое, что для всех : . Возьмем , тогда для всех : . Что и требовалось доказать. Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Замечание. Теорема о сумме и разности не имеет аналога для бесконечно больших последовательностей. Действительно, сумма двух бесконечно больших последовательностей в общем случае может быть какой угодно. Например, — ограниченная последовательность ; — бесконечно большая последовательность ; — бесконечно малая последовательность . Замечание. Теорема о произведении обобщается на случай бесконечно больших последовательностей. Замечание. Частное двух бесконечно малых (больших) последовательностей может быть последовательностью, сходящейся к любому числу, а может и не сходиться вовсе. Например, если , , то — бесконечно большая последовательность; — бесконечно малая последовательность. Теорема. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть — ограниченная последовательность, а — бесконечно малая. Покажем, что — бесконечно малая. Зададим произвольное . Так как — ограниченная последовательность, то существует такое, что . Так как — бесконечно малая, то существует такое, что для всех : . Тогда для всех : . Что и требовалось доказать. Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.