Квантование энергии. Частица в потенциальной яме
⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7 В соответствии со своим смыслом волновая функция - однозначной, - непрерывной, - конечной. Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Перечисленные требования называют стандартными условиями. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (33.19), т.е. уравнения Шредингера для собственных значений, имеют решения не при любых значениях параметра (в уравнении (33.19) это энергия), а лишь принекоторых избранных. Эти значения называются собственными. Решения уравнений, т. е. Совокупность собственных значений называется спектром физической величины. Спектры бывает дискретными или непрерывными, т. е. сплошными. В случае дискретного спектра собственные функции можно пронумеровать. Таким образом, квантование энергии вытекает из основных положений квантовой механики без дополнительных предположений.
В одномерном случае квадрат оператора нала
Поскольку за пределы ямы частица попасть не может, ее волновая функция должна обращаться в нуль. Стандартные условия требуют непрерывности волновой функции, следовательно, на границах ямы она тоже должна обращаться в нуль, а значит для
Поскольку потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, можно положить, что в пределах ямы она равна нулю
Обозначим положительную величину:
Тогда (33.25) примет знакомый вид:
Общее решение уравнения (33.27) имеет вид:
Решение уравнения (33.27) должно удовлетворять граничным условиям (33.24). Из условия
Из условия
(33.30) выполняется, если
Вспомним обозначение (33.26):
Выразив энергию из (33.32), получим:
Представляет интерес оценить расстояние между соседними энергетическими уровнями:
Рассматриваемая нами бесконечно глубокая потенциальная яма может служить моделью некоторых реальных объектов. Например, рассмотрим молекулы газа в сосуде с размерами
Оказывается, что энергетические уровни молекул расположены очень густо. Для сравнения вспомним, что тепловая энергия молекул имеет величину порядка Другой важный пример представляет собой электронный газ в металле. На поверхности металла потенциальная энергия изменяется скачком и электроны при нормальных условиях в заметных количествах покинуть металл не могут. Расчет показывает, что энергетические уровни электронов тоже очень густо расположены – на расстояниях по энергиям порядка
Электрон, связанный с атомом тоже можно рассматривать находящимся в потенциальной яме. Однако яма в этом случае имеет размеры порядка атомных – Подставив в общее решение (33.28)
Для нахождения константы а воспользуемся условием нормировки, которые в данном случае можно записать в виде:
Поскольку подынтегральная функция обращается в нуль на концах промежутка интегрирования, то значение этого интеграла можно получить, умножив среднее, на длину промежутка:
В окончательном виде собственные функции частицы представим следующим образом:
Графически примерный вид волновых функций частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме показан на рисунке 33.4. На том же рисунке показаны графики квадрата волновой функции. Очевидно, что поведение квантовой (для которой существенны квантовые эффекты) частицы существенно отличается от классической. Если вероятность обнаружения обычной частицы одинакова в любой точке в пределах ямы, то квантовая частица в основном состоянии, с минимальной энергией ( В состоянии с
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|