Проверка гипотезы о существовании тренда
Прежде чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе. Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда:
.
Рассмотрим один из самых простых методов, позволяющий обнаружить тренд в значении средней и дисперсии уровней. Метод разработан Ф. Фостером и А. Стюартом[4], которые предложили по данным исследуемого ряда определять величины
и
. Значения
и
находятся путем последовательного сравнения уровней. Если какой-нибудь уровень ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине
присваивается значение 1, в остальных случаях 0. Таким образом,
(2.1)
Наоборот, если уровень меньше всех предыдущих, то
присваивается значение 1. Таким образом,
(2.2)
После того как
и
найдены, легко определить две простые характеристики
и
:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Суммирование в формулах (1.24) и (1.25) производится по всем членам ряда. Нетрудно найти, что
принимает значения 0 и 1:
в случае, если
не является ни наибольшим, ни наименьшим уровнем всех предшествующих уровней, в противном случае
. Легко определить, что
может находиться в пределах
. (Здесь, как и выше,
означает число членов ряда). Если все уровни равны (нулевая дисперсия), то
, если же они монотонно растут, или падают, или колебания их чередуются, систематически увеличиваясь или падая, то
.
В свою очередь величина
принимает значения 0; 1 и -1. Найдем теперь пределы для
: нижний предел равен
, верхний составляет
. Нижний предел соответствует монотонно убывающему, а верхний – монотонно растущему ряду. Авторы данных характеристик не рассматривают условий, когда значение 
равно 0. Между тем именно здесь и кроется известная слабость рассматриваемого метода. В самом деле, если все уровни равны, то
. Кроме того,
и тогда, когда
. Что касается первой ситуации, то она соответствует полному отсутствию тренда. Вторая же может наблюдаться и тогда, когда ряд охватывает два периода с противоположными тенденциями. Кроме того,
и в случае, когда подъемы и падения уровней чередуются. Если уровни симметрично располагаются вокруг горизонтальной линии, то величина
, действительно, соответствует отсутствию тренда в средней. Однако при определении
не принимаются во внимание величины отклонений от горизонтальной линии. Поэтому мыслима такая ситуация, при которой отклонения с одним знаком будут систематически выше отклонений с другим знаком. В этом случае тенденция средней к росту (падению) не отразится на величине
. В чистом виде такое расположение уровней будет встречаться в практике крайне редко, но надо иметь в виду, что все же оно возможно[5].
Показатели
и
асимптотически нормальны и имеют независимые распределения. Они существенно зависят от порядка расположения уровней во времени. Показатель
применяется для обнаруживания тенденций изменения дисперсии,
– для обнаруживания тенденций в средней. После того как для исследования ряда найдены фактические значения
и
, проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности
и
. Гипотезы можно проверить, применяя t-критерий Стьюдента, т.е.
(2.7)
(2.8)
где
– математическое ожидание величины
, определенное для случайного расположения уровней во времени;
– средняя квадратическая ошибка величины
;
– средняя квадратическая ошибка величины
.
Необходимые для такой проверки средние квадратические ошибки равны[6]:
(2.9)
. (2.10)
Значения
,
и
табулированы.
Таблица 2.1
Значение средней
и стандартных ошибок
,
для
от 10 до 100 [7]
|
|
|
|
А
|
|
|
|
| 3,858
| 1,288
| 1,964
|
| 4,636
| 1,521
| 2,153
|
| 5,195
| 1,677
| 2,279
|
| 5,632
| 1,791
| 2,373
|
| 5,990
| 1,882
| 2,447
|
| 6,294
| 1,956
| 2,509
|
| 6,557
| 2,019
| 2,561
|
| 6,790
| 2,072
| 2,606
|
| 6,998
| 2,121
| 2,645
|
| 7,187
| 2,163
| 2,681
|
| 7,360
| 2,201
| 2,713
|
| 7,519
| 2,236
| 2,742
|
| 7,666
| 2,268
| 2,769
|
| 7,803
| 2,297
| 2,793
|
| 7,931
| 2,324
| 2,816
|
| 8,051
| 2,349
| 2,837
|
| 8,165
| 2,373
| 2,857
|
| 8,273
| 2,395
| 2,876
|
| 8,375
| 2,416
| 2,894
|
Воспользуйтесь поиском по сайту: