Экспоненциальное сглаживание
Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула:
(6.1)
где
- значение экспоненциальной средней в момент t;
- параметр сглаживания,
0<
<1;
.
Если последовательно использовать соотношение (7.1), то экспоненциальную среднюю
можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza2/499859309926.files/image267.png)
Таким образом,
(6.2)
где n – длина ряда.
При
, следовательно,
(6.3)
Таким образом, величина
оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина
называется экспоненциальной средней.
Автор модели английский математик Р. Браун показал, что математическое ожидание ВР и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[
] меньше дисперсии ВР
:
(6.4)
Так как 0<
<1, D[
] меньше дисперсии временного ряда, равной
.
При высоком значении
дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением
дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.
Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением
, с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений значение
нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания
составляет задачу оптимизации модели. При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого величине
следует присваивать одно из промежуточных значений от 0 до 1. При этом для оперативных, конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому
следует брать большим. При увеличении срока прогнозирования
следует уменьшить. В некоторых работах приводится формула для расчета
:
, (6.5)
где n – длина ряда.
При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени. Часто на практике в качестве начального значения
используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней ВР или из какой-то их части.
При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:
, (6.6)
где
– варьирующий во времени средний уровень временного ряда;
– случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым мат. ожиданием и дисперсией
.
Прогнозная модель определяется равенством:
, (6.7)
где
- прогноз, сделанный в момент t на
единиц времени вперед;
– оценка
.
Единственный параметр модели
определяется экспоненциальной средней:
=
;
= ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza2/499859309926.files/image284.png)
Выражение (1) можно представить по другому, перегруппировав члены:
(6.8)
Величину
можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз
получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели[19].
Вопросы для самоконтроля:
1 Укажите характерные особенности адаптивных методов прогнозирования.
2 Какие типы адаптивных моделей вы знаете?
3 Чем объясняется название «экспоненциальная средняя»?
4 Какую роль играет параметр адаптации
в процедуре экспоненциального сглаживания?
5 Как влияет значение параметра адаптации
на характер ряда, полученного после экспоненциального сглаживания?
Глава 7
_________________________________________________________________
Моделирование и прогнозирование временного ряда с помощью ARMA- и ARIMA- процессов _________________________________________________________________
7.1. Стационарные ВР и их основные характеристики.
7.2. Модели стационарных временных рядов.
7.3. Прогнозирование ARMA – процессов.
7.4. Методология Бокса – Дженкинса.
Воспользуйтесь поиском по сайту: