 |
Динамика тел переменной массы.
|
|
|
|
Телом переменной массы называют тело, масса которого с течением времени изменяется (M=M(t)) за счёт отделения от него или прибавления к нему дополнительной массы. Тело, от которого отделяется масса или к которому прибавляется масса, называется основным телом. Основной закон динамики тела переменной массы получим на примере ракеты.
6.1. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.
Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью, а равнодействующая внешних приложенных к нему сил
равнялась. Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью.
Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью.
Применим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы точек:
 |
Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:
Обозначив (скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим основной закон динамики для тела с убывающей массой:
 | |||||
 | |||||
 |
От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной, имеющей размерность силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость, а
направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.
6.2. Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.
|
|
|
Предположим, что в момент времени t система состояла из основного тела массы М, двигавшегося со скоростью и малой массы dM, двигавшейся со скоростью. К моменту времени t+dt малая масса попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое движется со скоростью. Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна, основной закон динамики записывается для системы в виде:
Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:
 |  | ||
или
 |
где: ― относительная скорость добавляющейся массы.
Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.
6.3. Первое соотношение Циолковского.
Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.
.Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде:
 |  | ||
или:
Интегрируя, получим:
 |
 |
Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка, когда,а. Тогда:
 |  | ||
Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:
 |
Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v, зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса и массы топлива, содержащегося в нём:. В конце активного участка топливо полностью сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.|
|
|
 |  | ||
Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:
Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.
6.4. Второе соотношение Циолковского.
Второе соотношение Циолковского определяет максимально возможный к.п.д. ракетного двигателя. По-прежнему считаем, что ракета движется вне силовых полей, а относительная скорость продуктов сгорания топлива постоянна. Кроме того, полагаем, что потерями на нагрев корпуса ракеты и на излучение можно пренебречь. При таких предположениях работа двигателя определяется изменением кинетической энергии системы «ракета ― отделившиеся продукты сгорания топлива». При этом полезная работа определяется изменением кинетической энергии только корпуса ракеты, а вся затраченная работа ― изменением кинетической энергии всей системы.
Положим, что в момент времени t масса ракеты была М, а скорость её n. В момент времени t+dt система состояла из одного тела массой M+dM, двигавшегося со скоростью
n+dn, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью.
 |  | ||
Полная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:
Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим:
 |
Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:
С учётом этого:
 |
 |
Используя соотношение Циолковского и полагая в нём, что скорость ракеты в начале активного участка траектории равна нулю, последнее соотношение приведём к одной переменной:
Интегрируя это равенство в пределах изменения массы ракеты (от до), получим значение полной работы, совершённой двигателем:
 | |||
 | |||
Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:
 | |||
 | |||
Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:
|
|
|
 |
 |
Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям», согласно которому:
 | |||
 | |||
 |
Полезная работа на всём активном участке траектории равна:
Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:
Тогда:
 | |||
 | |||
 |
Согласно (109):
 |
Подставив это значение в (110) получим:
 |
По определению коэффициент полезного действия ракетного двигателя равен:
 |
Учитывая, что и, запишем окончательный вид второго соотношения Циолковского:
6.5. Линейный режим работы ракетного двигателя.
 |
При линейном режиме работы ракетного двигателя масса ракеты уменьшается со временем по линейному закону:
 |  | ||
где α определяет скорость сгорания топлива. При таком режиме массовый расход равен:
т.е. со временем массовый расход не изменяется. Уравнение Мещерского при отсутствии внешних сил имеет вид:
 |
Очевидно, что реактивная сила со временем не изменяется. В то же время ускорение ракеты возрастает по закону:
 |
Таким образом, при линейном режиме реактивная сила постоянна, а ускорение ракеты и, соответственно, силы инерции, действующие на тела в корпусе ракеты со временем возрастают.
|
|
|
