Свойства линейного пространства
Стр 1 из 8Следующая ⇒ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства Определение. Множество X элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если выполнены условия: 1) задано сложение элементов множества X, т. е. задан закон, по которому любым двум элементам x и y множества Х ставится в соответствие элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y; 2) задано умножение элемента на число, т. е. задан закон, по которому любому элементу х множества Х и любому вещественному числу l ставится в соответствие элемент z ÎX, называемый произведением элемента х на число l и обозначаемый z = l x; 3) указанные линейные операции (законы) подчиняются аксиомам линейного пространства: а) x + y = y + x (коммутативность сложения); б) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения); в) существует элемент 0 Î X такой, что для любого элемента х множества Х выполняется равенство х+ 0 =х; г) для любого элемента х множества Х найдется элемент (– х)Î X такой, что х + (– х) = 0; д) для любого элемента х множества Х выполняется условие 1 × х = х; е) для любого элемента х множества Х и любых чисел l и m имеет место ассоциативность умножения на число, т. е. l(m х) = = (lm) х; ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам (l + m) х = l х + m х; з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам l(x + y) = l х + l у. Элементы линейного пространства принято называть векторами. Элемент Фактически линейное пространство – это совокупность множества элементов и двух операций, введенных на этом множестве. Согласно определению линейного пространства сумма определена для любых элементов из множества Х и сама является элементом этого пространства. Говорят, что множество Х замкнуто относительно операции сложения. Так как для любого элемента линейного пространства определена операция умножения на число, результат которой также принадлежит этому пространству, то линейное пространство замкнуто относительно умножения на число.
В качестве линейных пространств можно рассмотреть множество матриц размера т´п, элементами которых являются вещественные числа, относительно матричных операций сложения и умножения на число; множество всех свободных векторов на плоскости или в пространстве с линейными операциями над векторами и т.д. Пример. Множество R всех вещественных чисел есть линейное пространство. Множество R+ положительных вещественных чисел не является линейным пространством, потому что при умножении любого его элемента на отрицательное число или на нуль полученный элемент уже не будет принадлежать R+. Однако можно ввести такие операции «сложения» и «умножения на число», что множество R+ будет образовывать линейное пространство. Любой паре положительных чисел а и b поставим в соответствие число ab, которое назовем их «суммой», а произведением элемента а из множества R+ на вещественное число l назовем положительное число Проверим выполнение аксиом линейного пространства: a) коммутативность сложения:
б) ассоциативность сложения:
в) нейтральным элементом по сложению является 1: г) для любого положительного числа д) для любого вещественного положительного числа
е) ассоциативность умножения на число:
ж) дистрибутивность по числам:
з) дистрибутивность по элементам:
Свойства линейного пространства
1. Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор.
Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существуют два нулевых вектора 2. Любой вектор линейного пространства имеет только один противоположный вектор. Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существуют два противоположных элемента 3. Если вектор Доказательство. Рассмотрим четыре утверждения: (I) вектор 4. Для любых векторов Доказательство. Покажем, что решением уравнения является вектор Определение.Разностью двух векторов 5. Произведение любого элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору. Доказательство. Рассмотрим уравнение 6. Вектор, противоположный вектору Доказательство. Рассмотрим вектор 7. Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор. Доказательство. Учитывая, что
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|