Размерность линейного пространства

 

Определение. Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называется размерностью линейного пространства.

Пространство Х называется конечномерным, если оно обладает хотя бы одним базисом, состоящим из конечного числа векторов. Это число называется размерностью линейного пространства и обозначается .

Если размерность линейного пространства Х равна п, т. е. существует линейно независимая система из п векторов, а любая система, содержащая п +1 и более векторов, линейно зависимая, то говорят, что линейное пространство п -мерное.

Все п -мерные линейные пространства конечномерны. Однако существуют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независимую систему, содержащую сколь угодно большое количество векторов. Пример такого линейного пространства ˗ система функций, непрерывных на отрезке : система 1, , , …, линейно независима для любого натурального п, так как линейная комбинация равна нулю только в том случае, если , .

Теорема. В п -мерном линейном пространстве Х любая линейно независимая система, состоящая из п векторов, является его базисом.

Доказательство. Пусть , , …, - система линейно независимых векторов в линейном пространстве Х. Согласно определению размерности пространства любые (п +1) векторов будут линейно зависимы. Пусть - произвольный вектор Х, не входящий в базис , , …, . Тогда существуют вещественные числа α₀, α₁, …, α _n такие, что и . В этой линейной комбинации (если , то и система векторов , , …, будет линейно зависимой), поэтому , т. е. произвольный вектор из Х представляется в виде линейной комбинации линейно независимой системы векторов , , …, , следовательно, эта система образует базис. Теорема доказана.

Определение. Базисным минором матрицы называется минор k -го порядка этой матрицы такой, что он отличен от нуля, а все миноры -го порядка равны нулю либо минор -го порядка не существует.

Порядок любого базисного минора матрицы совпадает с рангом этой матрицы, причем любой столбец (строка) этой матрицы является линейной комбинацией линейно независимых столбцов (строк) матрицы, в которых расположен базисный минор.

Теорема. Если в линейном пространстве существует базис из п векторов, то .

Доказательство. Пусть - базис в . Достаточно показать, что любая система векторов , , …, , будет линейно зависимой. Разложим каждый из этих векторов по базису :

, ,

……………………….., .

Составим матрицу из столбцов координат: . Линейная зависимость системы векторов , , …, , равносильна линейной зависимости столбцов матрицы . В матрице n строк и n+ 1 столбец, следовательно, , поэтому столбцы линейно зависимы и линейно зависима система векторов , , …, , , т. е. . Теорема доказана.

Следствие. В любом п -мерном линейном пространстве Х два базиса содержат одно и то же количество векторов, которое совпадает с размерностью линейного пространства Х.

Пример. Показать, что векторы , и , заданные своими координатами в одном и том же базисе, сами образуют базис.

Решение. Каждый из векторов имеет три координаты, т. е. в линейном пространстве имеется базис из трех векторов. Поэтому любая линейно независимая система из трех векторов образует базис. Проверим, что данные векторы линейно независимые. Составим матрицу, столбцами которой являются координаты векторов и найдем ее ранг:

~ ~ .

Ранг матрицы равен трем, следовательно, ее столбцы линейно независимы, и, соответственно, векторы линейно независимы и образуют базис.

 

 

Преобразование координат вектора

При замене базиса

Пусть - п -мерное линейное пространство, в котором заданы два базиса и . Так как векторы образуют базис, то любой вектор из базиса может быть представлен в виде , . Следовательно, базис выражается через базис следующим образом:

,

или , (1.3)

где .

 

Определение. Матрица , столбцами которой являются координаты векторов из базиса в базисе , называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису .

Матрицы перехода обладают следующими свойствами.

1. Матрица перехода - невырожденная, т. е. .

Доказательство. Столбцами матрицы являются столбцы координат векторов нового базиса в старом. Векторы базиса линейно независимы, следовательно, столбцы матрицы линейно независимы и . Свойство доказано.

2. Если в линейном п -мерном пространстве задан базис и существует невырожденная матрица , то в линейном пространстве существует базис такой, что матрица будет матрицей перехода от базиса к базису .

Доказательство. Определитель отличен от нуля, следовательно, , ее столбцы базисные и линейно независимые. Эти столбцы являются столбцами координат системы векторов , т. е. . Столбцы линейно независимы, таким образом, система векторов линейно независима и содержит п векторов. Любые п линейно независимых вектора в п -мерном пространстве являются базисом, следовательно, система векторов - базис. Свойство доказано.

3. Если - матрица перехода от базиса к базису в линейном пространстве, то - матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство. Если - матрица перехода от базиса к базису в линейном пространстве, то и, следовательно, существует обратная матрица . Умножим равенство на матрицу справа. Имеем , т. е. - матрица перехода от базиса к базису . Свойство доказано.

4. Если в линейном пространстве заданы базисы , , и , , то - матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство. , т. е. - матрица перехода от базиса к базису . Свойство доказано.

Рассмотрим произвольный вектор линейного пространства , в котором заданы два базиса: (старый) и (новый). Пусть этот вектор имеет координаты и в базисах и соответственно, т. е. и . Если - матрица перехода от базиса к базису , то . Из единственности разложения вектора в одном и том же базисе следует, что , или

. (1.4)

Формула (1.4) устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах одного и того же линейного пространства.

Пример. Даны два базиса и . Найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах, если , , , , , .

Решение. Для того чтобы найти матрицу перехода от базиса к базису , надо решить уравнение , которое в матричной форме имеет вид . Из этого уравнения находим матрицу перехода:

.

Тогда связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах определяется соотношениями или , , .

Пример. Найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе и , , .

Решение. Координаты базиса заданы в базисе , поэтому матрицей перехода от базиса к базису будет матрица, столбцами которой являются координаты векторов базиса в базисе , т. е. . Поэтому , где и - координаты вектора в базисах и соответственно. Определитель матрицы перехода отличен от нуля, поэтому , т. е. вектор в базисе имеет координаты .

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: