Линейная зависимость элементов
Линейного пространства
Пусть векторы
являются элементами линейного пространства. С помощью линейных операций (сложения и умножения на число) составим выражение вида
, (1.1)
где
– вещественные числа. Выражение (1.1) называется линейной комбинацией векторов
, а числа
– коэффициентами линейной комбинации. Если
, то комбинация называется тривиальной. Если существует номер
,
такой, что
, то линейная комбинация называется нетривиальной.
Определение. Конкретный набор векторов
из линейного пространства Х называется системой векторов, а любая его часть – подсистемой.
Определение. Система векторов
в линейном пространстве Х называется линейно зависимой (говорят, что векторы линейно зависимы), если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т. е. векторы
линейно зависимы, если найдутся вещественные числа
, удовлетворяющие условию
, такие, что
.
Теорема. Для того чтобы система векторов
была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных, т. е. векторы
,
, …,
линейно зависимы тогда и только тогда, когда существует номер
,
такой, что выполняется равенство
.
Доказательство. А) Необходимость. Пусть векторы
линейно зависимы. Тогда существуют вещественные числа
, не равные одновременно нулю, такие, что
. Для определенности будем считать, что
(
). Тогда
.
Введем обозначения:
, (
). С учетом этих обозначений вектор
представляется в виде
, т. е. является линейной комбинацией остальных векторов.
Б) Достаточность. Пусть вектор
представляется в виде
. Следовательно,
. Эта линейная комбинация, равная нулевому вектору, является нетривиальной, так как коэффициент перед
равен –1, поэтому векторы
,
, …,
линейно зависимы. Теорема доказана.
Свойства систем векторов
Из аксиом линейного пространства следуют простейшие свойства систем векторов
,
, …,
произвольного линейного пространства Х.
1. Если существует такой номер
, что
, то система векторов
,
, …,
линейно зависима.
Доказательство. Составим линейную комбинацию векторов
,
, …,
:
. Эта линейная комбинация равна нулевому вектору и не является тривиальной, следовательно, система векторов линейно зависима.
Свойство доказано.
2. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то система линейно зависима.
Доказательство. В системе векторов
,
, …,
линейного пространства Х выделим линейно зависимую подсистему
,
, …,
(
). Тогда существуют числа
,
, …,
такие, что
.
Рассмотрим линейную комбинацию
, в которой
. Эта линейная комбинация равна нулевому вектору и не является тривиальной, так как
, следовательно, система векторов
,
, …,
линейно зависима. Свойство доказано.
3. Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в линейно независимой системе векторов
,
, …,
линейного пространства Х подсистема векторов
,
, …,
(
) является линейно зависимой. Тогда по предыдущему свойству вся система линейно зависима. Пришли к противоречию с предположением, что система векторов линейно независима.
Свойство доказано.
4. Если векторы
,
, …,
линейного пространства Х линейно независимы, а вектор
,
Х не является линейной комбинацией векторов
,
, …,
, то расширенная система векторов
,
, …,
,
линейно независима.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть расширенная система векторов
,
, …,
,
линейно зависима, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация
. Коэффициент
равен нулю (в противном случае вектор
есть линейная комбинация векторов
,
, …,
). Тогда
, и векторы
,
, …,
будут линейно независимы, если
. Следовательно, линейная комбинация
, равная нулевому вектору, является тривиальной. Получили противоречие с предположением существования нетривиальной линейной комбинации
, равной нулевому вектору. Свойство доказано.
Пример. Рассмотрим векторы
,
,
в трехмерном пространстве. Составим линейную комбинацию этих векторов
. Эта линейная комбинация будет равна нулевому вектору, если выполняются условия:
. Система линейных однородных уравнений относительно
,
и
имеет единственное нулевое решение. Следовательно, линейная комбинация векторов
,
,
, равная нулевому вектору, будет тривиальной, т. е. векторы линейно независимы.
Воспользуйтесь поиском по сайту: