Базис линейного пространства
Определение. Базисом линейного пространства Х называется упорядоченная система векторов, для которой выполнены условия: а) эта система векторов линейно независима; б) любой вектор линейного пространства Х может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.
Пусть векторы
,
, …,
образуют базис в линейном пространстве Х. Тогда любой вектор
,
Х, может быть представлен в виде
. (1.2)
Формула (1.2) называется разложением вектора
по базису
.
Теорема. В произвольном линейном пространстве Х разложение любого вектора по данному базису единственно.
Доказательство. Пусть
,
, …,
- базис в линейном пространстве Х и вектор
имеет два разложения по этому базису, т. е.
.
и
.
. Найдем разность этих векторов, используя аксиомы линейного пространства:
. Так как система векторов
,
, …,
линейно независима, то
,
, т. е. два разложения вектора в одном и том же базисе совпадают. Теорема доказана.
Замечание. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор в этом базисе имеет единственное разложение – тривиальное. Из единственности разложения нулевого вектора следует единственность разложения любого вектора по базису.
Определение. Коэффициенты разложения вектора по базису линейного пространства Х, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называются координатами вектора в данном базисе.
При изменении порядка векторов в базисе получается новый базис.
Базис
, …,
в данном линейном пространстве Х удобно записывать как матрицу-строку
, а координаты вектора
в этом базисе – как матрицу-столбец
. Тогда
, т. е. разложение вектора
по базису
,
, …,
можно записать как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец.
Пример. Рассмотрим в трехмерном пространстве вектор
, координаты которого заданы в базисе, состоящем из векторов
,
,
. Имеем
.
Теорема. При сложении в линейном пространстве Х любых двух векторов их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умножении вектора на число – его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть
, …,
– базис в линейном пространстве Х, в котором даны разложения векторов
и
:
,
. С использованием аксиом линейного пространства можно записать:
. В матричной форме
,
,
. Аналогично доказывается, что при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Теорема доказана.
Следствие. Линейная зависимость (независимость) векторов линейного пространства эквивалентна линейной зависимости (независимости) столбцов их координат в одном и том же базисе данного линейного пространства.
Определение.Стандартным базисом в пространстве Rn называется базис, образованный векторами
,
, …,
.
Пример. Показать, что векторы
,
и
образуют базис, и найти в этом базисе координаты вектора
.
Решение. Для того чтобы доказать, что векторы
,
,
образуют базис, надо показать, что эти векторы линейно независимы и любой вектор
в пространстве R3 является их линейной комбинацией. Запишем в стандартном базисе
,
и
столбцы координат векторов
,
,
,
и
:
,
,
,
,
. Из столбцов координат векторов
,
,
составим матрицу
. Определитель этой матрица равен 9, т. е. матрица невырожденная, следовательно, все ее столбцы линейно независимы, поэтому векторы
,
,
линейно независимы. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, имеющую в матричной записи вид
, где
. Эта система всегда имеет единственное решение относительно неизвестных
,
и
(по теореме Крамера), поэтому любой вектор
является линейной комбинацией векторов
,
,
, т. е. эти векторы образуют базис. В качестве произвольного вектора
можно взять вектор
. В этом случае относительно
,
и
имеем систему уравнений
. Решением этой системы будут
,
,
, которые являются координатами вектора
в базисе
,
,
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: