Характеристическое уравнение матрицы
Пусть Определение. Многочлен Пример. Написать характеристический многочлен Решение. Квадратную матрицу можно использовать в качестве значения переменного в произвольном многочлене. Тогда значением многочлена от матрицы будет матрица того же порядка, что и исходная. Пусть дана l-матрица Определение. Канонической l-матрицей называется l-матрица, обладающая следующими свойствами: 1. Эта матрица диагональная, т. е. имеет вид 2. Всякий многочлен 3. Старший коэффициент каждого многочлена равен 1, если этот многочлен отличен от нуля. Если среди многочленов, стоящих на главной диагонали канонической матрицы, встречаются равные нулю, то они на главной диагонали занимают последние места. Многочлены нулевой степени занимают первые места. К числу канонических l-матриц относятся, например, нулевая и единичная. Любая l-матрица путем элементарных преобразований приводится к каноническому виду, т. е. всякая l-матрица эквивалентна некоторой канонической l-матрице. Рассмотрим произвольную матрицу
Наибольший общий делитель Рассмотрим матрицу
Определение. Аннулирующими многочленами называются многочлены, значения которых от данной матрицы есть нулевые матрицы. В этом случае многочлен является аннулируемым данной матрицей А. Определение. Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, аннулируемый матрицей А, называется минимальным многочленом этой матрицы. Теорема. Всякий многочлен f (l), аннулируемый матрицей А, делится на минимальный многочлен j(l) этой матрицы. Доказательство. Если Теорема. Минимальный многочлен
где Доказательство. Следует из определения минимального и характеристического многочленов и формулы (5.1)
Пример 1. Найти минимальный многочлен матрицы Решение. Найдем характеристический многочлен матрицы А: Пример 2. Найти минимальные многочлены матриц Решение. Составим характеристический многочлен матрицы
Для всех этих миноров Для матрицы
Первый и последний из этих миноров являются взаимно простыми, поэтому
Теорема Кэли ˗ Гамильтона. Для любой квадратной матрицы характеристический многочлен является ее аннулирующим многочленом. Теорема. Характеристические многочлены (уравнения) подобных матриц совпадают. Доказательство. Пусть квадратные матрицы
Теорема доказана.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|