векторов линейного оператора

Характеристическое уравнение линейного оператора является алгебраическим уравнением п - й степени с действительными коэффициентами. Комплексные корни этого уравнения не относятся к собственным значениям линейного оператора, так как собственное значение - вещественное число по определению.

Вычисление собственных значений линейного оператора и его собственных векторов осуществляется в следующем порядке.

1. Выбрать в линейном пространстве некоторый базис и сопоставить оператору матрицу этого линейного оператора в выбранном базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти все его действительные корни , которые будут собственными значениями оператора.

3. Для каждого собственного значения найти фундаментальную систему решений для системы линейных однородных уравнений . Столбцы фундаментальной системы решений представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собственном подпространстве линейного оператора . Эти векторы будут собственными векторами, соответствующими собственному значению .

П р и м е р. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , имеющего в некотором базисе матрицу .

Решение. 1. Оператор уже представлен своей матрицей в некотором базисе.

2. Найдем собственные значения линейного оператора, решив характеристическое уравнение или . Это уравнение имеет три вещественных корня , , , которые и будут собственными значениями заданного линейного оператора.

3. Для каждого собственного значения найдем собственные векторы. Столбцы координат собственных векторов являются решениями системы линейных однородных уравнений . Для система уравнений имеет вид . Ранг матрицы этой системы равен 2, поэтому фундаментальная система содержит одно решение, например . Все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением в координатной форме имеет вид . Для получаем систему уравнений , ранг матрицы которой равен 2. Одним из ее решений будет , поэтому все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением в координатной форме имеет вид . Одним из решений системы уравнений для будет вектор . Так как фундаментальная система содержит только одно решение, то все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением в координатной форме имеет вид .

Определение. Матрица называется ортогональной, если ее обратная совпадает с транспонированной.

Определение. Вещественная строка называется нормированной, если сумма квадратов ее элементов равна единице.

Определение. Строки матрицы называются ортогональными, если сумма произведений соответствующих элементов равна нулю.

Ортогональность матрицы равносильна тому, что ее строки нормированы и попарно ортогональны. Из ортогональности матрицы следует ортогональность транспонированной с ней матрицы и обратно; а из нормированности и попарной ортогональности ее строк следует нормированность и ортогональность ее столбцов.

Свойства ортогональных матриц:

1. Если матрица ортогональна, то и обратная к ней ортогональна.

2. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

3. Единичная матрица ортогональна.

4. Определитель ортогональной матрицы равен ±1.

Ортогональные матрицы разбиваются на два класса – собственно ортогональные с определителем 1 и не собственно ортогональные с определителем ˗1.

Определение. Линейное преобразование φ евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярный квадрат любого вектора, т. е. . Другими словами, ортогональное преобразование евклидова пространства сохраняет скалярное произведение любых двух векторов.

При ортогональном преобразовании евклидова пространства образы всех векторов любого ортонормированного базиса сами составляют ортонормированный базис.

Верно и обратное: если линейное преобразование евклидова пространства переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, то это преобразование ортогонально.

Ортогональное преобразование евклидова пространства в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей. Если же линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированным базисе задается ортогональной матрицей, то это преобразование ортогонально.

Пример. Для ортогонального преобразования , заданного в ортонормированном базисе матрицей , найти ортонормированный базис, в котором матрица этого преобразования имеет канонический вид. Найти канонический вид. (Искомый базис определен неоднозначно.) .

Решение. Составим характеристическое уравнение: . , , , , ,

, , .

Это уравнение имеет корни . , которые являются собственными значениями матрицы . Найдем собственные векторы. Для ~ . Вектор является собственным вектором. Второй собственный вектор должен быть ортогональным вектору , поэтому его координаты удовлетворяют системе уравнений . Один из таких ˗ вектор . Собственному значению соответствует собственный вектор , который должен быть ортогонален векторам и , поэтому .

Искомый ортонормированный базис ˗ тот, в котором матрица имеет канонический вид, состоит из векторов , , , поэтому ортогональная матрица , , .

Канонический вид матрицы:

.

Пример. Найти ортонормированный базис собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного преобразования, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей (искомый базис определен неоднозначно): .

Решение. Найдем собственные значения матрицы . Составим характеристическое уравнение: , , , , . Это уравнение имеет три корня , , , которые являются собственными значениями матрицы . Найдем собственные векторы. Для : ~ ~ ~

~ , поэтому собственным вектором будет . Для : ~ ~ , поэтому собственным вектором будет . Для : ~ ~ , поэтому собственным вектором будет . Ортонормированный базис собственных векторов: , , . , , . Тогда искомая матрица вид , .

 

5.6. Инвариантные подпространства

 

Определение. Подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно оператора , если .

Любой линейный оператор имеет, как минимум, два тривиальных инвариантных подпространства - нулевое подпространство и все линейное пространство. К нетривиальным подпространствам относятся, например, собственные подпространства. Так как в комплексном линейном пространстве любой оператор имеет хотя бы один собственный вектор, то в таком пространстве любой оператор обязательно имеет хотя бы одно нетривиальное инвариантное подпространство.

Для любого оператора образ и ядро будут инвариантными подпространствами. Эти подпространства являются нетривиальными тогда и только тогда, когда оператор невырожденный или нулевой.

Если - инвариантное подпространство, то можно различными способами построить дополнительное подпространство такое, что . Если среди таких дополнительных подпространств будет хотя бы одно инвариантное, то можно говорить о разложении линейного пространства в прямую сумму подпространств и .

Разложение линейного пространства в прямую сумму инвариантных подпространств позволяет построить базис, в котором матрица линейного оператора имеет более простой вид.

Приведение матрицы линейного оператора к простому виду связано со структурой его инвариантных подпространств.

Если линейный оператор имеет базис из собственных векторов, то его матрица в некотором базисе является диагональной. Это верно, в частности, в том случае, когда все корни характеристического уравнения линейного оператора действительны и различны.

Теорема. Пусть и - инвариантные подпространства линейного оператора , причем . Тогда в некотором базисе матрица А этого оператора имеет блочно-диагональный вид:

, (5.7)

где и - квадратные блоки порядка и соответственно, а 0 - нулевые блоки соответствующего типа.

Доказательство. Выберем в линейных подпространствах и базисы и . В совокупности эти базисы дадут базис всего линейного пространства . Так как ˗ инвариантное подпространство линейного оператора , то вектор () принадлежит и является линейной комбинацией векторов . Поэтому координаты вектора , соответствующие векторам () в базисе , равны нулю. Аналогично можно показать, что координаты вектора , соответствующие векторам () в базисе , равны нулю. Таким образом, в базисе линейного пространства матрица линейного оператора имеет указанный вид. Теорема доказана.

Следствие. Если - инвариантные подпространства линейного оператора , причем , то в некотором базисе матрица А этого оператора имеет блочно-диагональный вид:

, (5.8)

где - квадратные блоки порядка , , …, соответственно, а все остальные блоки являются нулевыми соответствующего типа.

Доказательство аналогично доказательству теоремы.

Рассмотрим действие линейного оператора только на векторах инвариантного подпространства . Если , то , поэтому можно считать, что оператор порождает на подпространстве некоторый другой оператор , .

Оператор называется индуцированным оператором, порожденным оператором . По отношению к оператору оператор называется порождающим. В силу линейности оператора оператор также будет линейным:

.

Индуцированный оператор совпадает с порождающим оператором на инвариантном подпространстве и не определен вне его, т. е. операторы и отличаются областью определения.

Так как индуцированный оператор совпадает с порождающим оператором в инвариантном подпространстве, то из этого следует, что любой линейный оператор в каждом инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.

Если пространство разложено в прямую сумму инвариантных подпространств, то линейный оператор имеет по крайней мере собственных векторов.

Любое собственное значение и любой собственный вектор индуцированного оператора являются собственным значением и собственным вектором порождающего оператора.

Теорема. Характеристический многочлен индуцированного оператора, порожденного на нетривиальном подпространстве, является делителем характеристического многочлена порождающего оператора.

Доказательство. Пусть индуцированный оператор определен на инвариантном подпространстве . Выберем в базис таким образом, чтобы векторы образовывали базис в . Если - матрица порождающего оператора, то - матрица индуцированного оператора. Характеристический многочлен для оператора равен , для характеристический многочлен равен . Разложим по первым столбцам:

, т. е. характеристический многочлен индуцированного оператора является делителем характеристического многочлена порождающего оператора. Теорема доказана.

Теорема. Любой линейный оператор , действующий в п -мерном комплексном пространстве, имеет по крайней мере одно инвариантное подпространство размерности .

Доказательство. Оператор имеет хотя бы один собственный вектор . Пусть этот вектор соответствует собственному значению . Тогда область значений оператора представляет собой инвариантное подпространство оператора . Так как оператор невырожденный, то подпространство имеет размерность не выше . Рассмотрим произвольное подпространство размерности , содержащее подпространство . Для любого вектора из , следовательно, любой вектор их линейного подпространства переходит в вектор этого подпространства. Поэтому является инвариантным относительно оператора и соответственно относительно оператора . Теорема доказана.

 

5.7 Треугольная форма

 

Теорема. Для любого линейного оператора , , существуют инвариантные подпространства размерности () такие, что .

Доказательство. Существование линейных подпространств и очевидно. Согласно доказанной ранее теореме оператор имеет инвариантное подпространство .

Рассмотрим на подпространстве индуцированный оператор. Как и любой оператор, заданный на , он имеет инвариантное подпространство . Но подпространство, инвариантное для индуцированного оператора, будет инвариантным и для порождающего оператора . Следовательно, доказано существование инвариантного подпространства . Если рассматривать индуцированный оператор на подпространстве , то аналогично доказывается существование инвариантного подпространства и т. д. Теорема доказана.

Построим базис в линейном пространстве , используя инвариантные подпространства , . В качестве вектора возьмем любой ненулевой вектор из , в качестве - произвольный ненулевой вектор из , не принадлежащий и т. д. Рассмотрим матрицу оператора в этом базисе. Так как вектор , а подпространство инвариантно относительно оператора , то вектор должен быть линейной комбинацией только векторов . Поэтому в разложении коэффициенты , т. е. матрица оператора имеет вид , где при , , .

Если оператор имеет в некотором базисе треугольную матрицу , то ее диагональные элементы совпадают с собственными значениями оператора даже с учетом их кратности: .

 

5.8. Линейные операторы простой структуры

 

Определение. Линейный оператор, действующий в линейном пространстве , называется оператором простой структуры, если в пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

В базисе из собственных векторов матрица оператора простой структуры имеет вид:

, (5.7)

где - собственные значения оператора.

Если в исходном базисе оператор простой структуры имеет матрицу , а в базисе из собственных векторов - матрицу , то в силу соотношения (7.3) имеем:

, (5.8)

где - матрица перехода от базиса к базису . Она состоит из столбцов координат векторов базиса в базисе , - матрица вида (8.5). Другими словами, матрица приводится матрицей к диагональному виду.

Определение. Замена матрицы диагональной матрицей , подобной , называется приведением матрицы к диагональному виду.

Разрешив соотношение (8.6) относительно матрицы , получим

. (5.9)

Соотношение (8.7) называется каноническим разложением матрицы .

При построении матрицы нужно найти собственные значения матрицы и при каждом собственном значении построить ФСР (фундаментальную систему решений) однородной системы уравнений . Из решений всех построенных ФСР, как из столбцов, составить матрицу . В матрице столбцами записываются решения по каждому в порядке нумерации собственных значений (одинаковые считаются столько раз, каковы их кратности; все можно перенумеровать так, что будет , ).

Если матрица окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотношениям (8.6), (8.7). Если же матрица будет прямоугольной, то выполнение соотношений (8.6), (8.7) невозможно, т. е. матрица не приводится к диагональному виду и не имеет канонического разложения.

Этот способ равносилен нахождению невырожденной матрицы из матричного уравнения . Из способа построения матрицы следует, что она будет квадратной лишь в случае, когда каждое характеристическое число матрицы является ее собственным значением и для каждого совпадает его алгебраическая кратность с геометрической кратностью, т. е. с максимальным числом линейно независимых векторов матрицы по , равным , где - ранг матрицы . Если оператор с матрицей является оператором простой структуры, то матрица приводится к диагональному виду.

П р и м е р. Привести, если возможно, действительную матрицу к диагональному виду и построить для нее каноническое разложение.

Решение. Найдем корни характеристического уравнения . Ими являются числа , кратности 1 и 2 соответственно. Все они действительные, поэтому являются собственными значениями матрицы . При матрица имеет ранг , поэтому . При матрица имеет ранг , поэтому . Таким образом, у матрицы геометрическая кратность каждого совпадает с его алгебраической кратностью, поэтому матрица приводится к диагональному виду . В этом можно убедиться и непосредственным конструированием матрицы , удовлетворяющей соотношению (8.6). Действительно, при система , т. е. система уравнений имеет общее решение , в котором одно свободное неизвестное. Поэтому ФСР этой системы состоит из одного решения, например, . При система , т. е. система уравнений имеет общее решение . Полагая в общем решении сначала , , затем , , соответственно получим частные решения , . Из решений , как из столбцов, составляется невырожденная матрица . Поэтому матрица приводится к диагональному виду и имеет каноническое разложение .

 

5.8. Жорданова форма.

 

Рассмотрим более подробно корневые подпространства. Если , то . Но для каждого определенного вектора возможно выполнение равенства при . В частности, если - собственный вектор, соответствующий кратному собственному значению , , хотя .

Определение. Высотой корневого вектора называется наименьшее целое неотрицательное число , для которого

Все корневые векторы, соответствующие собственному значению , имеют высоты, не превосходящие . В общем случае высоты корневых векторов и кратности собственных значений - два различных понятия. Для операторов простой структуры не существует корневых векторов высоты больше единицы независимо от кратности собственных значений.

Пусть - корневое подпространство, соответствующее собственному значению кратности . Обозначим через