 |
Сила давления жидкости на плоские стенки
|
|
|
|
Сначала рассмотрим силы давления жидкости на горизонтальные стенки.
Сила давления жидкости на горизонтальное дно сосуда определяется по формуле (рис. 1.9):
, (1.19)
а давление на дно, согласно основному уравнению гидростатики, как:
. (1.20)
Рис. 1.9. Сила давления жидкости на горизонтальные стенки
Следовательно, сила давления жидкости на горизонтальное дно зависит от давления на свободной поверхности 
, плотности жидкости r, глубины погружения поверхности h, но не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).
Рассмотрим более общий случай. Пусть площадь 
расположена под углом 
к горизонту и перпендикулярна к плоскости рисунка (рис. 1.10).
Через проекцию контура площади S (линия АВ) проведем ось оу
и спроектируем эту площадь на плоскость хоу.
Определим силу давления жидкости на элементарную площадку 
предполагая, что в пределах 
давление не меняется:
Здесь – давление на свободной поверхности, h – глубина погружения площадки dS. Заметим, что 
. Для определения полной силы 
проинтегрируем полученное выражение по всей
площади S.
Рис. 1.10. Схема для определения силы давления жидкости
на плоскую стенку
Последний интеграл в правой части уравнения представляет собой статический момент площади относительно оси ох и равен:
где 
– координата центра тяжести площади . Заменяя 
получим:
(1.21)
Здесь 
– давление в центре тяжести площади S. Полная сила давления на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади.
Формулу (1.21) представим в другом виде:
(1.22)
Здесь 
– внешняя сила, 
– избыточная сила, вызванная весом жидкости.
Внешнее давление передается всем точкам площади S одинаково, поэтому внешняя сила будет приложена в центре тяжести площади S. Сила избыточного давления из-за неравномерности распределения избыточного давления по глубине приложена ниже в центре давления 
.
|
|
|
Координата центра гидростатического давления определяется по формуле:
(1.23)
где 
– момент инерции фигуры относительно оси ох.
Зависимость (1.23) может быть представлена в виде:
(1.24)
где 
– момент инерции фигуры S относительно оси, проходящей через её центр тяжести. Величина 
представляет собой эксцентриситет.
Зная величины и и точки их приложения, можно найти величину и точку приложения общей силы P.
Сила давления жидкости на криволинейные стенки.
Закон Архимеда
В отличие от плоской стенки, элементарные силы, действующие
на элементарные площадки криволинейной стенки в различных точках, различаются не только по величине, но и по направлению. Поэтому силу гидростатического давления, действующего на криволинейную стенку, непосредственно определить невозможно, его находят через составляющие (проекции) этой силы.
Для простоты рассмотрим цилиндрическую поверхность аb
с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 1.11). Жидкость действует на стенку аb с силой , а стенка аb с такой же силой, но в обратную сторону. Разложим эту силу на вертикальную 
и горизонтальную 
составляющие.
Далее рассмотрим условие равновесия объема жидкости, заключенного в вертикальном направлении в отсеке abcd:
(1.25)
где 
– давление на свободной поверхности, 
– проекция площади S на горизонтальную (свободную) поверхность, V – объем жидкого тела. Объем жидкого тела (тело давления) ограничено снизу криволинейной поверхностью аb, сверху – проекцией этой поверхности на свободную поверхность cd, а с боков – цилиндрической поверхностью, полученной
в результате проектирования площади S на свободную поверхность. Необходимо отметить, что V не всегда представляет объем жидкости.
|
|
|
Рис. 1.11. Схема для определения силы давления жидкости
на криволинейную (цилиндрическую) стенку
Определим горизонтальную составляющую 
. На некотором расстоянии по горизонтали от площади S жидкость условно разрезаем
в вертикальной плоскости и правую часть отбрасываем. На вертикальную стенку спроектируем площадь S и получим 
.
Реакцию отброшенной части жидкости обозначим через 
. Далее рассмотрим равновесие объема жидкости, заключенной между плоскостями аb и ef. Заметим, что сила является силой давления
на плоскую стенку :
(1.26)
где 
– глубина погружения центра тяжести площади , 
– давление в центре тяжести площади .
Полную силу находим по формуле:
(1.27)
Тогда положение силы находится графическим путем как точка пересечения направления силы с криволинейной поверхностью.
В общем случае полная сила определяется по формуле:
. (1.28)
В этом случае 
определяется по формуле (1.25), 
– по формуле (1.26). Сила 
, как и сила , расположена в горизонтальной плоскости и определяется по формуле, аналогичной (1.26).
Закон Архимеда. Рассмотрим полностью погруженное в жидкость твердое тело (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Тело, покоящееся в жидкости
Горизонтальные составляющие силы и 
полностью уравновешиваются. Рассмотрим вертикальную составляющую 
.
Вертикальная сила, действующая на нижнюю поверхность аbс больше вертикальной силы давления на верхнюю поверхность adc. Разность вертикальных сил, согласно формуле (1.25), получим в виде:
(1.29)
где 
– объем твердого тела, r – плотность жидкости.
Итак, на тело, погруженное в жидкость, действует гидростатическая подъёмная сила, направленная вверх и численно равная силе тяжести вытесненной им жидкости. Точка приложения гидростатической подъемной силы – центр тяжести вытесненного объема жидкости.
|
|
|
