Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Изучение статистических закономерностей случайных процессов




Целью данной работы есть ознакомление на практике со статистическими величинами и закономерностями, с помощью которых можно оценивать и обрабатывать данные измерения случайных величин.

В качестве примера статистического анализа распределения событий предлагается экспериментальные исследования распределения интенсивности космического излучения как случайного процесса. Под интенсивностью понимается число космических частичек, которая регистрируется счетчиком частичек в единицу времени.

 

Краткие теоретические сведения.

Пусть в течение некоторого времени мы наблюдаем некоторый случайный процесс. При этом интересующая нас физическая величина регистрируется прибором в последовательные моменты времени. Каждое измерение физической величины будем называть событием. Множество таких событий за все время наблюдения несет полезную информацию о свойствах объекта. Задачей статистического анализа является извлечение этой информации. Различают два основных, базирующихся на статистическом и вероятностном подходах, метода анализа статистических закономерностей процессов.

Введем основные понятия и определения принятые в статистических методах обработки информации.

Вероятность события.

Если в результате N измерений некоторое значение случайной величины x повторилось в ni случаях, то вероятность реализации этой величины определяется как

(1)

 

Случайные дискретные величины. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать счетное множество значений. Она характеризуется значениями и вероятностями с которыми реализуются эти значения. Очевидно, должно удовлетворяться равенство , которое называют условием нормировки. Множество значений образует дискретное распределение вероятности случайной величины x.

Рассмотрим некоторые примеры дискретных распределений.

а) Биномиальное распределение. В урне находятся шаров, из которых - белые. Из урны вынимается шарик и после регистрации снова возвращается в урну. Так повторяется раз. Какая вероятность того, что белый шарик будет зарегистрирована раз ? Вероятность того, что в отдельном опыте будет извлеченный белый шарик , не белый - .

Искомая вероятность рассчитывается с помощью биномиального закона:

(2)

где - число сочетаний из элементов по .

 

Биномиальный закон описывает в самой общей форме вероятность события в выборке частиц с возвращением элементов.

б) Гипергеометрическое распределение. Рассматривается та же самая задача, которая и в а), но шарики не возвращаются в урну. Тогда вероятность того, что среди выбранных частиц будет белых, равняется

(3)

Гипергеометрическое распределение (3) описывает вероятность события в выборке без возвращения элементов.

в) Распределение Пуассона. Случайная дискретная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное множество возможных значений 0, 1, 2,... с вероятностью

(4)

Число называется параметром распределения. Распределение Пуассона можно использовать в качестве красивого приближения биномиального распределения, если большое, а маленькое. Тогда за величину можно взять .

Случайные непрерывные величины.

Пусть – случайная величина, которая может принимать любые значения в интервале . Тогда число возможных значений обнаруживается бесконечным и неисчислимым. Поэтому называется непрерывной случайной величиной. Вероятность того, что величина находится в некотором малом интервале , определяется как

(5)

Здесь – называется плотностью распределения вероятности (или просто плотностью вероятности).

Очевидное следующее условие нормировки

(6)

Одним из наиболее важных распределений, которые встречаются в физике (и вообще в статистике), есть нормальный или гауссовый закон распределения. Он имеет вид симметричной, колоколу подобной, кривой, которая определена в области (, + ). Функция плотности этого распределения описывается в виде:

(7)

Распределение (7) полностью определяется заданием двух параметров: и . Наоборот, во многих статистических задачах, в частности, в данной работе, допускают, что распределение является нормальным и тогда находят его параметры и .

На рис.1 изображенная функция для разных значений и .

 

Рис.1. Нормальный закон распределение.

1 - µ = 0, σ = 2; 2 - µ = 4, σ =1; 3 - µ = 2, σ = 4.

 

Нетрудно видеть, что наиболее ожидаемое значение случайная величина принимает при . Это соответствует максимуму функции плотности вероятности.

При отклонении от значения функции быстро уменьшаются по экспоненциальному закону и стремятся к нулю на и + .

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...