Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Тема Функция. Предел и непрерывность функции.




Переменной называют величину , принимающую значения из некоторого множества значений Х.

Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение переменной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y.

При этом:

х – аргумент (независимая переменная);

у – значение функции (зависимая переменная);

– область определения функции;

множество значений функции.

Функция , определенная на множестве , называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и , . График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция , определенная на множестве , называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и , . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что , .

Если ставится в соответствие единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции .

Функции и называются взаимно обратными функциями. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Функция называется возрастающей на множестве , если для любых значений из неравенства следует неравенство , то есть если большему значению аргумента из множества соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на множестве , если для любых значений из неравенства следует неравенство , то есть если большему значению аргумента из множества соответствует меньшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция монотонна на множестве , то она имеет обратную функцию .

Точка х 0 называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки х 0, что для любой точки х ¹ х 0 этой окрестности выполняется неравенство .

Если для любой точки х ¹ х 0 из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство , то х 0 называется точкой минимума.

Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а значения y max и y min называются экстремумами функции.

 

Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого числа , можно указать такую окрестность точки , что при всех , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел функции обозначается , или при .

Если при только при , то называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

Пределы функции слева или только справа называются односторонними пределами(рис. 4).

Рисунок 4.

Если существуют оба односторонних предела и они равны, то существует предел :

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой при , если

Две бесконечно малые функции f (x) и g (x) при называются эквивалентными бесконечно малыми, если .

Таблица 2.

Основные эквивалентности (при )

 

Функция называется бесконечно большой при , если

Основные теоремы о конечных пределах.

1. Если = С (С – константа) при , то

.

2.

3. , если – функция, непрерывная в точке .

4. Если и , то

 

Раскрытие неопределенностей

Чтобы вычислить предел, имеющий неопределенность, нужно предварительно преобразовать функцию, стоящую под знаком предела так, чтобы неопределенность исчезла, т.е. раскрыть неопределенность. Основные виды неопределенностей: .

Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность при , образованную

отношением двух функций, нужно выражения в числителе и знаменателе почленно поделить на х в старшей степени.

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность при (где число), образованную отношением двух функций, нужно в числителе и знаменателе дроби выделить критический множитель (х – ), и сократить на него дробь.

Для выделения критического множителя в случае, когда данная неопределенность образована отношением тригонометрических, показательных, или логарифмических функций, используют замену бесконечно малых функций на их эквивалентности (см. таблицу 2).

Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность , нужно свести ее ко второму замечательному пределу:

или .

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...