 |
Тема Функция. Предел и непрерывность функции.
|
|
|
|
Переменной называют величину 
, принимающую значения из некоторого множества значений Х.
Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение переменной у из множества Y, то говорят, что задана функция 
, определенная на множестве Х с множеством значений Y.
При этом:
х – аргумент (независимая переменная);
у – значение функции (зависимая переменная);
– область определения функции;
– множество значений функции.
Функция , определенная на множестве 
, называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и 
, 
. График четной функции симметричен относительно оси Oy.
Функция , определенная на множестве , называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и 
, . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число 
, что , 
.
Если 
ставится в соответствие единственное значение 
, то определена функция 
с областью определения 
и множеством значений . Такая функция 
называется обратной к функции .
Функции и 
называются взаимно обратными функциями. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.
Функция называется возрастающей на множестве , если для любых значений 
из неравенства 
следует неравенство 
, то есть если большему значению аргумента из множества соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве , если для любых значений из неравенства следует неравенство 
, то есть если большему значению аргумента из множества соответствует меньшее значение функции.
|
|
|
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.
Если функция монотонна на множестве , то она имеет обратную функцию 
.
Точка х 0 называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки х 0, что для любой точки х ¹ х 0 этой окрестности выполняется неравенство 
.
Если для любой точки х ¹ х 0 из некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство 
, то х 0 называется точкой минимума.
Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а значения y max и y min называются экстремумами функции.
Предел функции.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки 
.
Число А называется пределом функции в точке (или при 
), если для любого числа 
, можно указать такую окрестность 
точки , что при всех 
, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство 
.
Предел функции обозначается 
, или 
при .
Если 
при только при 
, то 
называется пределом функции 
в точке 
слева, а если 
при только при 
, то 
называется пределом функции в точке справа.
Пределы функции слева или только справа называются односторонними пределами(рис. 4).
Рисунок 4.
Если существуют оба односторонних предела и они равны, то существует предел :
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно малой при , если 
Две бесконечно малые функции f (x) и g (x) при называются эквивалентными бесконечно малыми, если 
.
Таблица 2.
Основные эквивалентности (при 
)
Функция 
называется бесконечно большой при 
, если 
Основные теоремы о конечных пределах.
1. Если = С (С – константа) при 
, то
.
2. 
3. 
, если – функция, непрерывная в точке .
4. Если 
и 
, то
Раскрытие неопределенностей
Чтобы вычислить предел, имеющий неопределенность, нужно предварительно преобразовать функцию, стоящую под знаком предела так, чтобы неопределенность исчезла, т.е. раскрыть неопределенность. Основные виды неопределенностей: 
.
|
|
|
Правило 1. Чтобы раскрыть неопределенность 
при 
, образованную
отношением двух функций, нужно выражения в числителе и знаменателе почленно поделить на х в старшей степени.
Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность 
при (где – число), образованную отношением двух функций, нужно в числителе и знаменателе дроби выделить критический множитель (х – ), и сократить на него дробь.
Для выделения критического множителя в случае, когда данная неопределенность образована отношением тригонометрических, показательных, или логарифмических функций, используют замену бесконечно малых функций на их эквивалентности (см. таблицу 2).
Правило 3. Чтобы раскрыть неопределенность 
, нужно свести ее ко второму замечательному пределу:
или 
.
|
|
|
