 |
Основные свойства неопределенного интеграла.
|
|
|
|
1. 
2. 
3. 
4. 
Основные методы интегрирования
1. Метод непосредственного интегрирования.
2. Метод замены переменной (метод подстановки) заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл сводится к новому, который является табличным.
(35)
3. Интегрирование по частям.
(36)
Выделяют два типа интегралов, берущихся по частям:
1) 
; 
; 
; 
Здесь за u принимают многочлен 
, а за 
– остальные сомножители.
2) 
; 
; 
;
Здесь за 
принимают 
, а за u – остальные сомножители.
4. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. 
. Для интегрирования рациональной дроби необходимо представить ее в виде суммы простейших дробей видов:
,
где k, – целое положительное число, а трехчлен 
не имеет действительных корней.
Если дробь 
неправильная, то необходимо выделить целую часть дроби.
5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Для нахождения интегралов типа 
используют:
a) формулы понижения степени:
, 
(37)
b) подстановку 
, если n – нечетное;
c) подстановку 
, если m – нечетное/
Для нахождения интегралов вида 
, где R – рациональная функция, используют универсальную подстановку: 
, при этом.
, 
(38)
Тема Интегральное исчисление функции одной переменной.
Определенный интеграл.
1. Формула Ньютона–Лейбница
Если функция 
непрерывна на 
и 
, то имеет место формула:
, (39)
2. Несобственные интегралы первого и второго рода
Несобственные интегралы первого рода:
,
Несобственные интегралы второго рода:
, где a – точка бесконечного разрыва функции 
, и
, где b – точка бесконечного разрыва функции .
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
|
|
|
3. Вычисление площади фигуры
Криволинейной трапецией в называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой 
.
Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:
(40)
4. Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле:
(41)
Тема Функции многих переменных
Функция f есть функция двух переменных x и y, если каждой паре 
значений из некоторого множества D соответствует определённое значение величины f. Множество D называется областью определения функции 
.
Если одной из переменных функции придать приращение, а другую переменную не изменять, то функция получит частное приращение по одной из переменных: 
и 
Частной производной функции нескольких переменныхназывается предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению переменной при условии, что приращение переменной стремится к нулю:
– частная производная функции z по переменной x;
– частная производная функции z по переменной у.
При вычислении частной производной по одной переменной, все остальные переменные следует считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одной переменной.
Полный дифференциал функции выражается формулой:
(42)
Производные ФНП высших порядков
Так как 
и 
являются функциями переменных x и y, то их можно дифференцировать по x и по y. Эти частные производные от функции называются частными производными второго порядка
Экстремумы ФНП
Функция имеет максимум в точке 
, если существует такая окрестность точки , в которой выполнено неравенство 
для всех точек из этой окрестности, отличных от .
|
|
|
Функция имеет минимум в точке , если существует такая окрестность точки , в которой выполнено неравенство 
для всех точек из этой окрестности, отличных от .
Максимум 
и минимум 
называют экстремумами ФНП.
Необходимое условие экстремума ФНП: если функция имеет экстремум в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точкеравны нулю.
Точки, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими точками функции.
Достаточное условие экстремума ФНП: Вычислим в критической точке значения 
, 
, 
. Обозначим 
. Значение 
показано в таблице 5.
Таблица 5
| 
| В точке минимум
В точке максимум
|
| В точке функция экстремума не имеет
| |
| В точке экстремум может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
|
|
|
|
