Метод оптимального спектрального параметра (ОСП) для простой итерации.

Рассмотрим случай, когда спектр оператора выходит за границы единичного круга на комплексной -плоскости собственных чисел. В этом случае ряд простой итерации (5.3.1.2) расходится.

Определим выпуклую оболочку спектра оператора как выпуклую замкнутую кривую наименьшей меры, полностью охватывающую спектр оператора на -плоскости. Доказывается, что если точка находится вне выпуклой оболочки спектра, то можно построить сходящийся ряд простой итерации с новым оператором . Дадим конструктивный способ построения такого сходящегося ряда. Примем:

, , (5.3.3.1)

где - комплексный параметр. Выбором попробуем добиться сходимости ряда (5.3.1.6).

Пусть - один из множества кругов радиуса , полностью охватывающих спектр оператора , так что точка . Очевидно, что включает в себя выпуклую оболочку спектра. Вектор из начала в центр этого круга обозначим . При дробно-линейном преобразовании (5.3.3.1) с круг переходит в круг с центром в точке и радиусом . Если , то ряд (5.3.1.6) сходится. Найдем минимум значения . Пусть круг «виден» из точки под углом . Можно показать, что .

Таким образом, если такой круг, что точки и «видимый» из точки под наименьшим углом , то комплексное расстояние до центра этого круга со знаком «-» есть оптимальный параметр для сходимости (5.3.1.6), а скорость сходимости ряда (5.3.1.6) не хуже, чем у геометрической прогрессии со знаменателем .

Сходимость каждого из трех рассмотренных в разделах 5.3.2 и 5.3.3 методов зависит от конкретного вида исходной матрицы, а точнее, от свойств её спектра. Можно привести примеры матриц (и они приведены ниже в упражнениях по теме), для которых сходится только один из трех методов для любого из них, однако комбинация метода Зейделя или Якоби с методом оптимального спектрального параметра (ОСП) позволяют добиться сходимости в случаях, когда каждый из этих методов по отдельности расходится.

Например, в задаче варианта 9 собственные числа матрицы равны , и располагаются по разные стороны от точки на прямой, проходящей через неё. В этом случае точка принадлежит выпуклой оболочке спектра и дробно-линейным преобразованием (5.3.3.1) нельзя добиться сходимости итерационного процесса. Собственные же числа матрицы Якоби равны , и точка находится вне выпуклой оболочки спектра. То же самое можно утверждать и о спектре оператора Зейделя. Однако, непосредственное применение метода Якоби или Зейделя не приведёт к успеху, т.к. . Заключая спектр в круг с центром в т. приходим к сходящемуся методу Якоби – ОСП с параметром . Для метода Зейделя - ОСП оптимальный параметр приводит к быстро сходящемуся процессу.

Наоборот, если матрица Якоби (оператор Зейделя) имеют спектр, выпуклая оболочка которого содержит т. , то никакие модификации этих методов не приведут к сходящемуся процессу. Применение метода ОСП непосредственно к исходной матрице может привести в этом случае к сходимости. Такова задача варианта №7, в которой , , а , .

Применение итерационных методов наиболее успешно в том случае, когда спектр оператора локализован в небольшой окрестности с центром в т. вдали от т. . Тогда применение метода ОСП с оптимальным параметром является самым удачным среди одношаговых стационарных методов и приводит к быстро сходящемуся ряду простой итерации (Задачи вариантов № 1-6, 10-12).

Конечно, задача определения спектра матрицы в общем случае ничем не проще задачи решения СЛАУ прямыми методами. Однако, для ряда матриц оптимальный параметр для метода ОСП находится весьма просто через её коэффициенты (См. 5.3.4). Это не значит, что для любой матрицы такого типа можно построить сходящийся итерационный процесс, но если можно добиться сходимости, то она наилучшая при .

Кроме того, для физических и технических задач область локализации спектра оператора часто известна, т.к. она соответствует физически нерегулярным и резонансным решениям.

Если даже приходится исследовать спектр задачи для построения быстро сходящегося итерационного процесса то, однажды его построив, можно затем многократно использовать для расчетов с различными источниками - правыми частями .

Преимущества же быстро сходящихся итерационных процессов перед прямыми методами известны. Это:

· количество арифметических операций (здесь - число итераций), вместо ;

· отсутствие накопления ошибок в процессе итераций со сжимающим оператором;

· пониженные требования к оперативной памяти ЭВМ.

Особенно эти преимущества заметны для задач с большими матрицами . Решение СЛАУ с стандартным методом Mathcad на ЭВМ P-2 750Мгц занимает около 2 мин машинного времени, в то время как решение той же системы быстро сходящимся итерационным методом с требует всего около 1..2 сек.