Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Итерационные методы решения СЛАУ

Найти решение СЛАУ с матрицей и правой частью итерационными методами Якоби, Зейделя и ОСП. Решение получить с заданной относительной точностью . Указать количество итераций необходимых каждому методу для достижения заданной точности. В случаях слабой сходимости ограничиться числом , отразив это в результатах. Отметить также случаи явной расходимости метода.

В качестве оптимального параметра для сходимости метод ОСП в задаче с матрицей размером следует принимать:

· , в случае (и в случае периодического продолжения на трехдиагональную матрицу с большими значением )

· , для задач с трехдиагональной матрицей с постоянной главной диагональю, где . В частности, для матриц с .

В случаях расходимости всех трех используемых методов следует применить комбинированный метод Якоби-Зейделя и ОСП. Для этого потребуется найти собственные числа матрицы Якоби [5.3.2.3] и на этой основе сделать вывод о значении для ряда оптимальной простой итерации с матрицей [5.3.3.1], в которой -матрица Якоби. Этот же оптимальный параметр можно использовать для построения ряда простой итерации с оператором [5.3.3.1], где -оператор Зейделя [5.3.2.5]. Однако, в последнем случае оптимальный параметр, как правило, может быть значительно улучшен и в необходимых случаях он указан.

Варианты заданий.

№ вар.				Примечание
1.
2.
3.				Оптимальный параметр для метода Зейделя-ОСП k=0.1
4.
5.
6.
7.				Оптимальный параметр для метода Зейделя-ОСП k=0.25
8.				Оптимальный параметр для метода Зейделя-ОСП k=2
9.				Оптимальный параметр для метода Зейделя-ОСП k=1
10.				Оптимальный параметр для метода Зейделя-ОСП k=1
11.
12.

14.
15

При выполнении лабораторных работ с помощью пакета Mathcad указанные варианты видоизменяются до больших трехдиагональных матриц с . Для этого главная и две побочные диагонали периодически продолжаются на большую матрицу. Остальные коэффициенты матрицы нулевые. Так, матрица варианта №2 выглядит следующим образом:

Оптимальный параметр для метода ОСП остаётся при этом неизменным (несмотря на трансформацию спектра матрицы- увеличение радиуса круга при неизменном положении его центра) и определяется так, как указано выше для малых матриц.

В качестве вектора правой части взять вектор с для всех . Относительная точность вычислений для всех вариантов .

Варианты помеченные * используются только для практических работ с n=2 и для n=100 решений в виде сходящегося итерационного процесса не имеют. В этом случае выбирается вариант с номером = 16 - №вар.

В результате работы представить для каждого метода:

· вектор решения (несколько первых компонент)

· число итераций

· невязку решения

· спектр оператора (с помощью стандартных функций Mathcad)

· сравнить значение оптимального параметра, полученного исходя из знания спектра оператора, и использованного Вами в решении.

Сравнить решение СЛАУ, полученное стандартным методом Mathcad и Вашим итерационным методом.

Сделать вывод о причинах хорошей (плохой) сходимости итерационного метода.

Найти число обусловленности исходной матрицы (с помощью стандартных функций Mathcad).Для вариантов задания с быстрой сходимостью () сравнить при время решения СЛАУ стандартным методом Mathcad и итерационным методом.