 |
Задание для практических занятий.
|
|
|
|
Дана матрица 
Найти ее собственные значения и вектора.
Варианты:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
,
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
,
13) 
, 14) 
,
15) 
, 16) 
.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассматриваются уравнения первого порядка, разрешимые относительно первой производной с начальными условиями 
:
(6.1)
Существует теорема Коши о единственности решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Геометрически 
определяет поле направлений на плоскости 
, а решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) - интегральные кривые.
Численные методы решения задачи Коши для ОДУ основаны на том, что решение можно представить в виде разложения в ряд Тейлора с любой степенью точности.
Метод разложения в ряд Тейлора.
Решение ищется в виде
Функциональные зависимости 
известны:
,
, (6.2)
и т.д.
Этот метод приводит к громоздким выражениям для производных, и в основном используются для получения других численных методов.
Общая схема метода Рунге - Кутта
Одношаговые методы позволяют получить заданную точность используя только предыдущее значение 
. Изменение на шаге h представляется в виде квадратурной формулы (типа Гаусса):
,
где 
.
Для получения коэффициентов 
, 
и 
квадратурная сумма разлагается в ряд по степеням h. Полученное разложение сравнивается с рядом Тейлора:
(6.2.1)
В общем виде выражения для коэффициентов получить трудно, поэтому рассмотрим наиболее употребительные формулы.
Введем обозначения:
,
, (6.2.2)
,
………………………………………….
Квадратурную формулу разлагаем в ряд по h:
(6.2.3)
¦ 
, ¦ 
, ¦ 
, ¦ 
-- частные производные по x и y ¦(x, y).
|
|
|
Полученное разложение сравнивается с рядом Тейлора (6.2.1).
Рассмотрим несколько частных случаев.
Методы Рунге-Кутта низших порядков
Метод Эйлера
В квадратурной формуле ограничиваемся одним слагаемым:
. (6.3.1.1)
Интегральная кривая заменяется ломаной линией, состоящей из прямолинейных отрезков. Выбирается шаг h и значение функции в точке 
ищется по формуле 
т.е. в интегральном уравнении f(x,y) заменяется на константу.
Ошибки метода 
так как в ряде Тейлора отбрасываются вторые производные.
Метод трапеций и прямоугольника
Это популярные методы, иначе их называют метод Коши- Эйлера и модифицированный метод Эйлера, их ошибка 
Представление 
- позволяет сравнить два первых слагаемых в разложении с рядом Тейлора:
, 
, 
Получены три уравнения для четырех неизвестных, что является общим свойством метода Рунге- Кутта. То есть для каждого порядка точности существует множество вычислительных схем: 
, 
.
Положим 
, тогда
, (6.3.2.1)
то есть значение производной «подправляется» значением в предварительно определенной точке.
, тогда 
, 
В этом случае 
Методы Рунге-Кутта высших порядков
В методе Рунге- Кутта третьего порядка точности:
Разлагая в ряд по h до h 
и сравнивая с рядом Тейлора (7.2.1)получим следующую систему из шести уравнений для восьми неизвестных:
Наиболее употребительна в этом случае симметричная разностная схема (аналог метода парабол при численном интегрировании): 
, тогда:
, 
, 
, 
, 
, 
.
,
,
,
.
В методе Рунге-Кутта точности порядка 
получается система из 11 уравнений для 13 неизвестных.
Наиболее употребительны две вычислительные схемы:
1. Аналог метода 3/8 в численном интегрировании.
, где
,
,
,
,
2. Аналог метода парабол.
, (6.4.1)
где ,
,
,
.
Проблема выбора той или иной вычислительной схемы при заданной точности зависит от вида ¦(х,у), так как от этого зависит величина остаточного члена.
|
|
|
|
|
|
