Решение типовых задач по математической статистике

 

Задача 1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35,9; 35,3; 42,7; 45,2; 25,9; 35,5; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.

Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , s², s, V, s_x; с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней x_Г.

Решение. Запишем исходные данные в виде вариационного ряда, то есть располагая их в порядке возрастания: 25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.

Максимальное значение признака составляет 46,2 ц, а минимальное – 25,9 ц. Разница между ними составляет 20,3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 5–6 классов. Возьмем длину интервала ∆x=5. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения, поэтому n₁= 2. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n₂= 5. Аналогично n₃= 9, n₄=3, n₅= 1.

Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

w₁=n₁/n=2/20=0,1; w₂=n₂/n=5/20=0,25; w₃=n₃/n=9/20=0,45;

w₄=n₄/n=3/20=0,15; w₅=n₅/n=1/20=0,05.

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

w₁+ w₂+ w₃+ w₄+ w₅=0,1+0,25+0,45+0,15+0,05=1.

Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.

Вычислим плотности w_i/∆x относительных частот вариант. Получаем

w₁/∆x₁=0,1/5=0,02; w₂/∆x₂=0,25/5=0,05; w₃/∆x₃=0,45/5=0,09;

w₄/∆x₄=0,15/5=0,03; w₅/∆x₅=0,05/5=0,01.

Полученные результаты сведем в таблицу.

Интервал значений	25–30	30–35	35–40	40–45	45–50
Частоты вариант
Относительные частоты	0,10	0,25	0,45	0,15	0,05
Плотность относительных частот	0,02	0,05	0,09	0,03	0,01

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот.

Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: – выборочная средняя; – «исправленная» дисперсия; – среднее квадратическое отклонение; – ошибка средней; – коэффициент вариации.

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы

№	Результат обследования xi	xi–	(xi– )2
	35,9	–0,1	0,01
	35,3	–0,7	0,49
	42,7	6,7	44,89
	45,2	9,2	84,64
	25,9	–10,1	102,01
	35,3	–0,7	0,49
	33,4	–2,6	6,76
	27,0	–9,0	81,00
	35,9	–0,1	0,01
	38,8	2,8	7,84
	33,7	–2,3	5,29
	38,6	2,6	6,76
	40,9	4,9	24,01
	35,5	–0,5	0,25
	44,1	8,1	65,61
	37,4	1,4	1,86
	34,2	–1,8	3,24
	30,8	–5,2	27,04
	38,4	2,4	5,76
	31,3	–4,7	22,09
Σ	720,3		490,05

 

Подставляя полученные значения в формулы, получаем

= 720,3/20 = 36,015;

= 490,05/19 = 25,79;

= 5,08;

= 5,08/4,47 = 1,34;

= 5,08/36∙100% = 14%.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь радиус доверительного интервала:

t_γ ∙s_x = 2,10ּ1,34 = 2,8,

где значение = 2,10 находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней заключен в пределах от = 36 – 2,8 = =33,2 ц (гарантированный минимум) до = 36 + 2,08 = 38,8 ц (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Урожайность, ц/га	23–25	25–27	27–29	29–31	31–33	33–35	35–37
Площадь, га

Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

(24∙3+2∙10+28∙6+30 ∙16+3 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 = 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

=1/99ּ(3∙(24–32)²+10∙(26–32)²+6∙(28–32)²+

+16∙(30–32)²+15∙(32–32)²+30∙(34–32)²+20∙(36–32)²)= =1/99ּ(192+360+96+64+0+120+320)=1/99ּ1152=11,64.

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве = = 3,4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

= 3,4/ = 0,34 ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством

P() = γ,

согласно которому можно утверждать, что с надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки .

Так как n = 100 > 30, то значениеt_γ найдем из условия γ=2Ф(t_γ)=0,95. По таблице приложения 2 находим значение Ф(t_γ)=0,475 и t_γ=1,96.

= 1,96ּ3,4/ = 0,67.

Концы доверительного интервала:

= 32 – 0,67 = 31,33 и = 32 + 0,67 = 32,67.

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: