 |
Лінійна кореляція. Визначення параметрів лінійної залежності методом найменших квадратів
|
|
|
|
Припустимо, що по емпіричній лінії регресії або з інших міркувань встановлено, що між двома кількісними ознаками існує лінійна кореляційна залежність.
Рівняння регресії має вигляд
,
або
. (28)
Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли пари чисел в табл. 3.3 спостерігалися по одному разу, тобто 
для всіх 
і 
для всіх 
(див. табл. 3.2). Подставив у (28) замість 
та 
відповідно 
і 
, ми не отримаємо в правій частини рівності нуль, бо на результати кожного спостереження впливають випадкові "збурення". Маємо:
,
,
,
...............................,
.
Числа 
називаються відхиленнями. Параметри 
і 
знаходять з умови, якалягає в тому, що сума квадратів відхилень
(29)
була найменьшою із усіх можливих. Тому метод називається методом найменьших квадратів.
Сума (29) єфункцією параметрів і . Збудуємо цю функцію, замінивши значения 
на 
. Маємо
Для знаходження мінімуму функції 
, що залежить від двох невідомих - і , знайдемо часткові похідні по цим невідомим і прирівняємо їх до нуля:
(30)
Винесемо постійний множник за знак суми, помножимо обидві частини рівностей (30) на (-1) та перегруповавши доданки, запишемо
(31)
Знайшовши з системи (31) і , одержуємо шукане рівняння прямої лінії регресії:
, (32)
де - вибірковий коефіцієнт регресії.
Система (31) побудована для випадку, коли пари чисел та спостерігались по одному разу. Якщо необхідно знайти параметри і , коли зв’язок між 
та 
описується кореляційною таблицею, то система рівнянь буде мати вид
(33)
де
Значения 
поясняются табл. 3.3. 1
** Уyt Ί
Для визначення і з системи (33) домножимо друге рівняння на 
и віднімемо результат почленно з першого рівняння 1
_
звідки
З другого рівняння знайдемо 
и підставимо його в рівняння регресії (32). В результаті маємо 
. Далі отримуємо 
або
|
|
|
(34)
Провівши аналогічний вивід для рівняння регресії 
приходимо до рівняння
(35)
Кутовий коефіцієнт прямої (34) називається вибірковим коефіцієнтом регресії з Υ на Х, його позначають символом 
:
В результаті рівняння прямих регресії мають наступний вигляд:
(36)
(37)
|
|
|
B. Визначення електролітів крові
E. Визначення витрат палива
IV. Визначення переможців Конкурсу та їх нагородження
IV.І Перелік основних термінів, параметрів, характеристик, які повинен засвоїти студент при підготовці до заняття
VII. ВИЗНАЧЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ТА НАГОРОДЖЕННЯ.
А. Визначення щільності часток ґрунту пікнометричним методом
АЗИМУТ І ЙОГО ВИЗНАЧЕННЯ
Акт проголошення незалежності України.
Альтернативні визначення
Аналіз рівнянь лінійної регресії і властивості вибіркового коефіцієнту кореляції
