Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Лінійна кореляція. Визначення параметрів лінійної залежності методом найменших квадратів




Припустимо, що по емпіричній лінії регресії або з інших міркувань встановлено, що між двома кількісними ознаками існує лінійна кореляційна залежність.

Рівняння регресії має вигляд

,

або

. (28)

Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли пари чисел в табл. 3.3 спостерігалися по одному разу, тобто для всіх і для всіх (див. табл. 3.2). Подставив у (28) замість та відповідно і , ми не отримаємо в правій частини рівності нуль, бо на результати кожного спостереження впливають випадкові "збурення". Маємо:

,

,

,

...............................,

.

Числа називаються відхиленнями. Параметри і знаходять з умови, якалягає в тому, що сума квадратів відхилень

(29)

була найменьшою із усіх можливих. Тому метод називається методом найменьших квадратів.

Сума (29) єфункцією параметрів і . Збудуємо цю функ­цію, замінивши значения на . Маємо

Для знаходження мінімуму функції , що залежить від двох невідомих - і , знайдемо часткові похідні по цим невідомим і прирівняємо їх до нуля:

(30)

Винесемо постійний множник за знак суми, помножимо обидві частини рівностей (30) на (-1) та перегруповавши доданки, запишемо

(31)

Знайшовши з системи (31) і , одержуємо шукане рівняння прямої лінії регресії:

, (32)

де - вибірковий коефіцієнт регресії.

Система (31) побудована для випадку, коли пари чисел та спостерігались по одному разу. Якщо необхідно знайти параметри і , коли зв’язок між та описується кореляційною таблицею, то система рівнянь буде мати вид

(33)

де

Значения поясняются табл. 3.3. 1

** Уyt Ί

Для визначення і з системи (33) домножимо друге рівняння на и віднімемо результат почленно з першого рівняння 1

_

звідки

З другого рівняння знайдемо и підставимо його в рівняння регресії (32). В результаті маємо . Далі отримуємо або

(34)

Провівши аналогічний вивід для рівняння регресії приходимо до рівняння

(35)

Кутовий коефіцієнт прямої (34) називається вибірковим коефіцієнтом регресії з Υ на Х, його позначають символом :

В результаті рівняння прямих регресії мають наступний вигляд:

 

(36)

 

(37)

Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...